Chimie

Systèmes d'équations différentielles ordinaires linéaires du second ordre

Systèmes d'équations différentielles ordinaires linéaires du second ordre


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Coordonnées normales

L'équation du mouvement des billes vibrantes est

X⋅⋅=KX.

On résout en prenant les coordonnées (X1,X2,X3) transformé de sorte que les équations dans le nouveau système de coordonnées (système de coordonnées normal) (q1,q2,q3) sont découplés. Les coordonnées (q1,q2,q3) sont des coordonnées généralisées qui sont utilisées pour simplifier l'analyse du problème. La matrice K dans le système de coordonnées transformé est diagonale, ses éléments diagonaux sont les valeurs propres de K. On diagonalise K avec la matrice B. des vecteurs propres bje de K.

B.-1KB.=??1000??2000??3,B.=b1b2b3.

Multiplions les deux côtés de par à partir de la gaucheB.-1 et utilisons l'identité X=JE.X=B.B.-1Xdonc il s'avère

B.-1X⋅⋅=B.-1KB.B.-1X.

Exécutons le vecteur

q=B.-1X

a, alors le système dans les coordonnées transformées est donné par

q⋅⋅=B.-1KB.q

ou

q⋅⋅1=??1q1=0q⋅⋅2=??2q2=-kq2q⋅⋅3=??3q3=-3kq3.

La solution est

q1(t)=C.1t+RÉ.1q2(t)=C.2eje??2t+RÉ.2e-je??2tq3(t)=C.3eje??3t+RÉ.3e-je??3t,

par lequel

je??2=(??2)1/2je??3=(??3)1/2.

Toute coordonnée de q1, q2 et q3 correspond à une oscillation du système avec une fréquence, c'est-à-dire que toutes les sphères oscillent avec la même fréquence. Ce sont les vibrations normales ou vibrations naturelles du système. Les amplitudes relatives des sphères sont des coefficients de la matrice B. certainement. Notons les trois modes normaux différents avec k, alors les déplacements des billes à partir de leurs positions d'équilibre sont donnés par

X(k)(t)=B.q(k)(t),

par lequel

q(1)(t)=q1(t)00,q(2)(t)=0q2(t)0,q(3)(t)=00q3(t).

Le mouvement général est obtenu à partir de la somme des trois vibrations normales

X(t)=X(1)(t)+X(2)(t)+X(3)(t)=B.q(1)(t)+q(2)(t)+q(3)(t)=B.q(t)


Vidéo: Système différentiel 1 (Juillet 2022).


Commentaires:

  1. Faetaxe

    Absolument avec vous, c'est d'accord. Idée excellente, c'est d'accord avec vous.

  2. Chlodwig

    J'ai aussi remarqué cela parfois, mais en quelque sorte je n'y ai pas attaché d'importance auparavant.

  3. Shaine

    Je le saurai, merci beaucoup pour votre aide dans cette affaire.

  4. Sagor

    Exactement! La bonne idée, elle vous convient.

  5. Burhan

    Je crois que vous vous trompez. Je peux le prouver. Envoyez-moi un courriel à PM, nous en discuterons.



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