Série de Fourier réel

Relations d'orthogonalité - Preuve

À (Real Fourier Series - Introduction). Evidemment l'intégrant de

$$\underset{-\mathrm{??}}{\overset{+\mathrm{??}}{\int }}car\left(\frac{\mathit{m}\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)péché\left(\frac{\mathit{m}\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)\text{ré}\mathit{t}$$

le produit d'un pair avec une fonction impaire et donc impair. De plus, la zone d'intégration est symétrique $0$ l'intégrale s'annule (voir règle correspondante).

À (Real Fourier Series - Introduction). Accepté,$\mathit{m}\ne \mathit{m}$. Ensuite, nous obtenons à l'aide d'un théorème d'addition approprié

$$\begin{array}{rcl}\underset{-\mathrm{??}}{\overset{+\mathrm{??}}{\int }}car\left(\frac{\mathit{m}\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)car\left(\frac{\mathit{m}\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)\text{ré}\mathit{t}& =& \frac{1}{2}\underset{-\mathrm{??}}{\overset{+\mathrm{??}}{\int }}car\left(\frac{(\mathit{m}-\mathit{m})\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)\text{ré}\mathit{t}+\frac{1}{2}\underset{-\mathrm{??}}{\overset{+\mathrm{??}}{\int }}car\left(\frac{(\mathit{m}+\mathit{m})\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)\text{ré}\mathit{t}\\ & =& \frac{\mathrm{??}}{2(\mathit{m}-\mathit{m})\mathrm{??}}{\left[péché\left(\frac{(\mathit{m}-\mathit{m})\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)\right]}_{-\mathrm{??}}^{+\mathrm{??}}+\frac{\mathrm{??}}{2(\mathit{m}+\mathit{m})\mathrm{??}}{\left[péché\left(\frac{(\mathit{m}+\mathit{m})\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)\right]}_{-\mathrm{??}}^{+\mathrm{??}}\\ & =& \frac{\mathrm{??}}{2(\mathit{m}-\mathit{m})\mathrm{??}}\left(péché\left((\mathit{m}-\mathit{m})\mathrm{??}\right)-péché\left(-(\mathit{m}-\mathit{m})\mathrm{??}\right)\right)\\ & & +\frac{\mathrm{??}}{2(\mathit{m}+\mathit{m})\mathrm{??}}\left(péché\left((\mathit{m}+\mathit{m})\mathrm{??}\right)-péché\left(-(\mathit{m}+\mathit{m})\mathrm{??}\right)\right)\\ & =& \frac{\mathrm{??}}{2(\mathit{m}-\mathit{m})\mathrm{??}}(0-0)+\frac{\mathrm{??}}{2(\mathit{m}+\mathit{m})\mathrm{??}}(0-0)\\ & =& 0.\end{array}$$

Pour l'avant-dernier signe égal, nous avons utilisé le fait que le sinus pour tous les multiples entiers de $\mathrm{??}$ Est zéro. A propos de l'affaire $\mathit{m}=\mathit{m}\ne 0$. Encore une fois à l'aide d'un théorème d'addition, nous obtenons

$$\begin{array}{rcl}\underset{-\mathrm{??}}{\overset{+\mathrm{??}}{\int }}car\left(\frac{\mathit{m}\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)car\left(\frac{\mathit{m}\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)\text{ré}\mathit{t}& =& \underset{-\mathrm{??}}{\overset{+\mathrm{??}}{\int }}\frac{1}{2}\left(1+car\left(\frac{2\mathit{m}\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)\right)\text{ré}\mathit{t}\\ & =& \frac{1}{2}\left(\underset{-\mathrm{??}}{\overset{+\mathrm{??}}{\int }}\text{ré}\mathit{t}+\underset{-\mathrm{??}}{\overset{+\mathrm{??}}{\int }}car\left(\frac{2\mathit{m}\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)\text{ré}\mathit{t}\right)\\ & =& \frac{1}{2}\left(2\mathrm{??}+\frac{\mathrm{??}}{2\mathit{m}\mathrm{??}}{\left[péché\left(\frac{2\mathit{m}\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)\right]}_{-\mathrm{??}}^{+\mathrm{??}}\right)\\ & =& \frac{1}{2}\left(2\mathrm{??}+\frac{\mathrm{??}}{2\mathit{m}\mathrm{??}}\left(péché(2\mathit{m}\mathrm{??})-péché(-2\mathit{m}\mathrm{??})\right)\right)\\ & =& \frac{1}{2}\left(2\mathrm{??}+\frac{\mathrm{??}}{2\mathit{m}\mathrm{??}}\left(0-0\right)\right)\\ & =& \mathrm{??}.\end{array}$$

Ici aussi, nous avons utilisé le fait que le sinus est pour des multiples entiers de $\mathrm{??}$ disparaît. Dans le cas $\mathit{m}=\mathit{m}=0$ après tout, les deux fonctions cosinus sont constamment égales $1$ et le calcul trivial

$$\underset{-\mathrm{??}}{\overset{+\mathrm{??}}{\int }}car\left(\frac{0\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)car\left(\frac{0\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)\text{ré}\mathit{t}=\underset{-\mathrm{??}}{\overset{+\mathrm{??}}{\int }}1\cdot 1\text{ré}\mathit{t}=2\mathrm{??}$$

offre ce que vous voulez.

À (Real Fourier Series - Introduction). Soyez le premier$\mathit{m}\ne \mathit{m}$ accepté. Encore une fois, à l'aide d'un théorème d'addition approprié, nous pouvons écrire :

$$\underset{-\mathrm{??}}{\overset{+\mathrm{??}}{\int }}péché\left(\frac{\mathit{m}\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)péché\left(\frac{\mathit{m}\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)\text{ré}\mathit{t}=\frac{1}{2}\underset{-\mathrm{??}}{\overset{+\mathrm{??}}{\int }}car\left(\frac{(\mathit{m}-\mathit{m})\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)\text{ré}\mathit{t}-\frac{1}{2}\underset{-\mathrm{??}}{\overset{+\mathrm{??}}{\int }}car\left(\frac{(\mathit{m}+\mathit{m})\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)\text{ré}\mathit{t},$$

qui diffère de l'expression à droite du premier signe égal uniquement en ce qu'il y a un signe moins au lieu d'un signe plus entre les intégrales. Sur le résultat, à savoir $0$, ça ne change rien. Dans le cas $\mathit{m}=\mathit{m}$ on obtient, toujours à l'aide d'un théorème d'addition,

$$\underset{-\mathrm{??}}{\overset{+\mathrm{??}}{\int }}péché\left(\frac{\mathit{m}\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)péché\left(\frac{\mathit{m}\mathrm{??}\mathit{t}}{\mathrm{??}}\right)\text{ré}\mathit{t}=\underset{-\mathrm{??}}{\overset{+\mathrm{??}}{\int }}\frac{1}{2}\left(1-car\left(\frac{2\mathit{m}\mathrm{??}}{\mathrm{??}}\right)\right)\text{ré}\mathit{t}.$$

À l'exception du signe moins devant le cosinus, c'est identique à la deuxième expression de la chaîne d'équations. La différence n'affecte pas le résultat, comme on le vérifie facilement, il se lit donc $\mathrm{??}$que nous devons également prouver.

Vidéo: Series de fourier (Juin 2022).