Chimie

Concepts de convergence dans les suites de fonctions

Concepts de convergence dans les suites de fonctions


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Preuve de quelques théorèmes sur la convergence ponctuelle

On se contente de la preuve des deux premiers théorèmes ; Le lecteur intéressé peut rechercher celles des autres dans la littérature, certaines préparations doivent être faites. Pour connaître un certain terme qui a une place fixe dans la littérature (le noyau de Dirichlet), on fait un petit détour. Nous considérons un 2??-fonction périodique F, dont nous n'avons d'abord rien d'autre que son intégrabilité sur l'intervalle[-??,??] présupposer.

Noyau de Dirichletscher

Peut-être t tout nombre réel fixe. Dans la formule (Real Fourier Series - Introduction) nous remplaçons parFN(t) les coefficients de Fourier une0,unem,bm par la partie droite correspondante de leurs équations déterminantes (série de Fourier réelle - calcul des coefficients) (il faut bien entendu renommer la variable d'intégration ; disons, en t'), donc les résultats du calcul

FN(t)=12une0+m=1Nunemcarm??t??+bmpéchém??t??=121??-??+??F(t')t'+m=1N1??-??+??carm??t'??F(t')t'carm??t??+1??-??+??péchém??t'??F(t')t'péchém??t??=1??-??+??F(t')12+m=1Ncarm??t'??carm??t??+péchém??t'??péchém??t??t'=1??-??+??F(t')12+m=1Ncarm??(t'-t)??t' .

Pour le dernier signe égal, nous avons utilisé l'un des théorèmes d'addition pour les fonctions trigonométriques. Définissons-en un 2??-fonction périodique RÉ.N de X?? par

RÉ.N(X):=12+m=1Ncar(mX),

prend donc la forme

FN(t)=1??-??+??F(t')RÉ.N??(t'-t)??t'

à. La fonction RÉ.N appelé N-ter noyau Dirichlet. Il peut être mis sous une forme plus simple que, à savoir :

12+m=1Ncar(mX)=péchéN+12X2péchéX2.

C'est vrai, le côté droit est pour ceux Xqui sont un multiple entier de 2?? sont, indéfinis (expression indéfinie de type 0/0), ce qui ne perturbera pas notre calcul. Incidemment, la preuve de représente une application intéressante de la formule empirique géométrique dans le complexe.

Il nous faut encore l'intégrale de RÉ.N dessus [-??,??] (il est évident que RÉ.N peut être intégré sur cet intervalle). La meilleure façon de le faire est de partir de l'équation de définition :

-??+??RÉ.N(X)X=12-??+??X+m=1N-??+??car(m??)X=122??+0++0=??

(Pour l'avant-dernier signe d'égalité, noter les relations d'orthogonalité). Donc

1??-??+??RÉ.N(X)X=1.

Nous avons maintenant toutes les ressources pour mener à bien les preuves annoncées.

Premier cas : F est au point t différenciable

Revenons à l'équation. Il est logique d'utiliser la substitution dans l'intégrale X=??(t'-t)/?? effectuer. qui livre

FN(t)=1??-??t/??-??-??t/??+??Ft+????XRÉ.N(X)X.

C'est facile d'imaginer que F(t+(??/??)X), vu en fonction de X avec l'entreprise t, 2??- doit être périodique. RÉ.N(X) dépend aussi, comme nous l'avons noté ci-dessus 2??-périodiquement de X une façon. Cela s'applique donc à l'intégrande entier. Mais alors nous sommes autorisés à diviser la zone d'intégration par un intervalle arbitraire de longueur 2?? remplacer, donc aussi par [-??,??]. Si nous faisons cela, la dernière équation prend forme

FN(t)=1??-??+??Ft+????XRÉ.N(X)X

à. Nous soustrayons maintenant des deux côtés F(t) et utilisez une petite astuce : nous écrivons F(t) droit comme F(t)1 et remplacer le 1 par le côté gauche de, puis nous tirons cela F(t), que oui sur l'intégration X est une constante, dans l'intégrale et résumer. Le tout encore en formules :

FN(t)-F(t)=1??-??+??Ft+????XRÉ.N(X)X-F(t)=1??-??+??Ft+????XRÉ.N(X)X-F(t)1=1??-??+??Ft+????XRÉ.N(X)X-F(t)1??-??+??RÉ.N(X)X=1??-??+??Ft+????XRÉ.N(X)X-1??-??+??F(t)RÉ.N(X)X=1??-??+??Ft+????X-F(t)RÉ.N(X)X.

Le lecteur comprendra clairement de quoi il s'agit : montrer que la différence FN(t)-F(t) pour N tend vers zéro, car cela signifierait aussi la convergence de FN(t) contre F(t) pour N prouvé (c'est de cela qu'il s'agit). Avec l'abréviation

??(X):=Ft+????X-F(t)2péchéX2

et compte tenu de la représentation pour le noyau de Dirichlet prend la forme la plus simple

FN(t)-F(t)=1??-??+????(X)péchéN+12XX

à. Cette transformation de l'intégrande n'est dans un premier temps que pour X0 valide, il ??(X) et le côté droit de pour X=0 sont indéfinis. ??(X) mais peut être continuellement complété à ce point et l'intégrande ensuite pour tout X[-??,??] comme par écrit. Donnons-nous la preuve, pour la première fois nous utilisons notre prémisse que F à ce point t est différentiable. Selon cette prémisse existe limiteH0(F(t+H)-F(t))/H=F'(t). Mais alors la valeur limite suivante existe également et a la valeur spécifiée :

limiteX0Ft+????X-F(t)X=????F'(t).

Pour X[-??,??], X0, peut-on écrire :

??(X)=X2péchéX2Ft+????X-F(t)X.

Partons X contre 0 aller, alors le premier facteur à droite converge vers 1comment vérifier facilement à l'aide de la règle de l'Hospital, et la seconde contre (??/??)F'(t)comme vient de le montrer. Donc

limiteX0??(X)=????F'(t).

Asseyons-nous ??(0) comme l'expression à droite, c'est aussi ??(X) en tant que fonction de X[-??,??] partout défini et continu, et les intégrandes dans (dernier signe égal, membre de droite) et s'accordent ponctuellement. Pour assurer la convergence du membre de droite de vers zéro pour N pour prouver, on utilise la conséquence de l'inégalité de Bessel. Quelques étapes de calcul sont nécessaires au préalable. Ça s'applique

péchéN+12X=péchéNX+12X=péché(NX)car(12X)+car(NX)péché(12X),

encore un des théorèmes d'addition a été utilisé. On définit deux fonctions ??1, ??2 par

??1(X):=??(X)car(12X)respectivement.??2(X):=??(X)péché(12X)

pour tous X[-??,??] (et 2??-continuation périodique sur l'ensemble ??, si nous voulons qu'avec l'application suivante de ladite conséquence de l'inégalité de Bessel toutes les conditions préalables, même insignifiantes, soient remplies).

-??+????(X)péchéN+12XX=-??+????1(X)péché(NX)X+-??+????2(X)car(NX)X.

Appliquons maintenant les équations (inégalité de Bessel)??1 respectivement. ??2 dans le rôle de là Fest activé, nous reconnaissons donc que cette expression est en effet pour N passe à zéro. La première phrase est ainsi prouvée.

Deuxième cas : F est au point t différentiable à droite et à gauche

Nous utilisons le raccourci

oui:=F(t+)+F(t-)2,

mais obtenez une meilleure compréhension de la question lorsque nous oui soit tout d'abord un nombre réel. Apparemment, la facture peut aller jusqu'à et y compris, avec F(t) remplacé par oui, sont pris en charge. Cela conduit à

FN(t)-oui=1??-??+??Ft+????X-ouiRÉ.N(X)X.

Vu brièvement, il semble que l'on puisse procéder comme avant ; c'est-à-dire : définition d'une fonction

??(X):=Ft+????X-oui2péchéX2,

Établir l'équation, introduire ??1 et ??2 comme dans, enfin application des conclusions de l'inégalité de Bessel. Cependant, nous pouvons voir que quelque chose ne va pas ici du fait qu'il s'agit de la convergence de FN(t) contre le nombre qui peut être choisi à volonté oui serait prouvé. L'explication réside dans le fait que nous avons omis de la liste, mais que nous avons pris en compte dans la section précédente : les relations au point X=0. Dans la section précédente, nous étions convaincus que ?? que dans l'ensemble [-??,??] une fonction continue, donc aussi limitée et donc intégrable, peut être définie ; mais alors sont ??1 et ??2 de telles fonctions et (l'inégalité de Bessel) sont effectivement applicables. A quoi ça ressemble ici ? ??1 et ??2 peut être aussi

??1(X)=Ft+????X-ouilit bébéX2

respectivement.

??2(X)=Ft+????X-oui

écrire (assurez-vous). Là F peut être intégré via [-??,??] est, est-ce ??2 dessus [-??,??], puisque les deux fonctions émergent l'une de l'autre de manière triviale. à ??1 Cependant, cela dépend de la forme exacte de F ainsi que sur t et oui à. Est-ce par ex. F la courbe carrée, t=0 et oui=1, ainsi est ??1(X) même 0 pour -??X<0, même -2lit bébé(X/2) pour 0<X??, et au point X=0 A ??1 une singularité en raison de la ??1 non fini [-??,??] intégrable, donc (l'inégalité de Bessel) n'est pas applicable.

Revenons à notre tâche. À partir de maintenant oui non plus arbitraire, mais défini. Dans la section précédente, nous avons eu la différentiabilité de F à ce point t exploité. Ici, nous devenons la différentiabilité gauche et droite de F utiliser. Cela nécessite une petite astuce. Tout d'abord, démontons le côté droit comme suit :

FN(t)-oui=1??-??0Ft+????X-ouiRÉ.N(X)X+1??0+??Ft+????X-ouiRÉ.N(X)X.

Ensuite, nous effectuons la substitution dans la première intégrale X'=-X nommer la nouvelle variable d'intégration X' puis de retour dans X autour et prendre une transformation triviale (-+??0X=0+??X) avant. Cela se traduit par

FN(t)-oui=1??0+??Ft-????X-ouiRÉ.N(-X)X+1??0+??Ft+????X-ouiRÉ.N(X)X.

On y lit immédiatement que RÉ.N est une fonction paire. Par conséquent RÉ.N(-X)=RÉ.N(X), donc

FN(t)-oui=1??0+??Ft-????X-ouiRÉ.N(X)X+1??0+??Ft+????X-ouiRÉ.N(X)X=1??0+??Ft-????X+Ft+????X-2ouiRÉ.N(X)X.

définissons ?? par

??(X):=Ft-????X+Ft+????X-2ouipéchéX2

pour 0<X?? et

??(X):=0

pour -??X<0 et en utilisant la représentation du noyau de Dirichlet, on peut écrire :

FN(t)-oui=1??-??+????(X)péchéN+12XX.

Cependant, nous devons encore faire le travail X=0 regarde-le de plus près. Là, le dénominateur devient zéro, ce qui comporte le risque que ??(X) pour X0+ grandit à l'infini. Cependant, nous pouvons prouver que ce n'est pas le cas. Nous ajoutons pour oui selon a, développer avec X et recevoir

??(X)=XpéchéX2Ft-????X-F(t-)X+Ft+????X-F(t+)X.

Partons maintenant X venant de la droite contre 0 aller (c'est-à-dire X0 par lequel X>0), l'expression devant la grande parenthèse converge contre 1, les deux entre parenthèses contre (??/??)F'(t-) respectivement. (??/??)F'(t+) (faire le calcul). Donc

limiteX0+??(X)=????F'(t-)+F'(t+).

La seule chose qui compte est que la valeur limite existe. Nous donnons ??(0) cette valeur est donc ?? Bien que je. Généralement pas sur tout l'intervalle [-??,??] régulièrement, mais a fait un bond à X=0, mais régulièrement sur [0,??] et zéro sur [-??,0]. Cela et la limitation résultante de ?? garantir l'intégrabilité de ??. La disparition du côté droit de pourN, et donc la convergence de FN(t) contre oui, peut maintenant être montré de la même manière que dans la section précédente la disparition du côté droit de.


Vidéo: Suites et Séries de Fonctions Convergences Simple Uniforme et Absolue Exercice 1 (Juin 2022).


Commentaires:

  1. Earnan

    si les analogues existent?

  2. R'phael

    Je suis désolé, mais je pense que vous vous trompez. Discutons-en. Envoyez-moi un e-mail en MP.

  3. Eburhardt

    Frais. Et vous ne pouvez pas discuter :)

  4. Malanris

    À mon avis, c'est évident. Je ne voudrais pas développer ce thème.



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