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Que sont les tenseurs ?

Dans les expériences chimiques et physiques, les substances et les molécules sont exposées à des grandeurs expérimentales (pression mécanique ou charge de traction, champ électrique ou magnétique), qui sont décrites vectoriellement (vecteur de causevous). Une quantité est mesurée dans chaque cas (déformation élastique de la substance, polarisation électrique de la substance ou effets magnétiques dans les molécules selon la spectroscopie RMN), qui est également décrite par un vecteur (vecteur d'actionw).

Dans ces systèmes, il existe souvent une relation linéaire entre le vecteur de cause et d'effet. Si la substance étudiée est isotrope (par exemple les liquides), le vecteur d'action a le même axe que le vecteur de cause. La relation simple s'applique :

w=Kvous.

K est une grandeur scalaire qui caractérise la substance isotrope. Les substances anisotropes (par exemple les monocristaux) se comportent différemment : la linéarité entre cause et effet est conservée, vous etw mais ont surtout des directions différentes. La relation entre vous et w peut être formulé pour des systèmes anisotropes à l'aide de systèmes d'équations linéaires. Pour clarifier le principe, nous allons d'abord le faire dans le X,oui-Système de coordonnées.

  • Vecteur de cause vous dans X-Direction: vousX=vousXjew=wXje+wouij.Le vecteur de cause a généré un vecteur d'effet avec un X- et une oui-Composant, tous proportionnels à vousX sommes. Ça suitwX=KXXvousXwoui=KouiXvousX.La première lettre de la constante de proportionnalité KXX,KouiX se rapporte à la composante pertinente du vecteur d'effet, la seconde à la direction du vecteur de cause.
  • Vecteur de cause vous dans oui-Direction: vousoui=vousouijw=wXje+wouij.Le vecteur de cause a généré un vecteur d'effet avec un X- et une oui-Composant, tous proportionnels à vousoui sommes. Ça suitwX=KXouivousouiwoui=Kouiouivousoui.
  • Le vecteur de cause vous est l'addition des deux composants dans X,oui/ paragraphe> sens : vous=vousXje+vousouijw=wXje+wouij.Les composantes du vecteur d'action sont alors égales à la somme des composantes correspondantes dans les deux cas ci-dessus. Les éléments suivants doivent s'appliquer : wX=KXXvousX+KXouivousouiwoui=KouiXvousX+Kouiouivousoui.Notation matriciellewXwoui=KXXKXouiKouiXKouiouivousXvousouiw=Kvous.

Dans le cas tridimensionnel, on se pose 3×3-Matrice K, pour eux aussi bien sur w=Kvous est applicable.

K=KXXKXouiKXzKouiXKouiouiKouizKzXKzouiKzz

Vos neuf vrais composants KXX,KXoui,,Kzz caractériser la substance identifiable par le symbole Kmm peut représenter. Le système des coefficients Kmm est appelé un tenseur. On dit que le tenseur formant les coefficients Kmm.

sera généralement Kmm appelé tenseur ou dyade d'ordre 2 car il a deux indices. Représenter en conséquence scalaire?? (sans indice) et grandeurs vectorielles vje (avec un indice) issus de la chimie et de la physique représentent les tenseurs de niveau 0 et 1. Ils sont caractérisés (dans l'espace 3D) par une, trois ou neuf composantes. Cependant, cette notation « step » du calcul dit tensoriel n'est pas facile à manipuler. Pour la description des lois physico-chimiques il est plus commode et, pour le reste, tout à fait suffisant de parler de scalaires, de vecteurs et de matrices. Ainsi les tenseurs sont 0., 1. resp. 2ème étape signifiait.

Noter
Les tenseurs de la chimie sont déterminés par des matrices réelles et symétriques par rapport à un système de coordonnées donné (c'est-à-dire Kmm=Kmm). Cependant, une telle matrice n'est pas affectée à chaque tenseur arbitraire.

Notation Voigt

les notation Voigt, du nom du physicien Woldemar Voigt, est l'abréviation de tenseurs. Sur la base de la notation indicielle des tenseurs, 2 indices sont "rassemblés" pour former un indice selon une règle spécifique.

Exemple : Les composants d'un tenseur symétrique du second ordre (par exemple & # 160B. Tenseur des contraintes) sont généralement représentés sous la forme d'une matrice 3x3 avec 9 composants. En raison de sa symétrie, le tenseur n'a que 6 déterminants plus 3 équations qui décrivent la symétrie. Définir une "contraction" comme suit

alors le tenseur peut être écrit comme un "vecteur" $ sigma ^ < text> écrivez $. Cette notation "vecteur" est la notation de Voigt du tenseur.


Table des matières

En géométrie différentielle, la géométrie des espaces courbes est étudiée, qui sont décrits par ce qu'on appelle des variétés différentiables. Ces variétés permettent de définir un espace vectoriel réel d < displaystyle d> -dimensionnel en chaque point p < displaystyle p>, qui est appelé l'espace tangent en ce point. Si la variété est intégrée dans un espace de dimension supérieure, l'espace tangent correspond exactement à l'hypersurface d < displaystyle d> -dimensionnelle qui touche la variété au point p < displaystyle p> et lui est tangente à cet endroit. L'espace dual de l'espace tangent est appelé espace cotangent.

Les représentations de coordonnées des champs de tenseurs doivent remplir un certain comportement de transformation sous des représentations de changement de carte, c'est-à-dire des difféomorphismes locaux.

La notation d'index écrit les arguments, dans lesquels le tenseur est linéaire, non pas au moyen de parenthèses d'argument, mais au moyen d'indices. Ces indices sont en exposant ou en indice, selon que l'argument provient de l'espace tangent ou de l'espace cotangent. A (k, l) < displaystyle (k, l)> - tenseur T < displaystyle T> avec les arguments v 1, ..., v k < displaystyle v_ <1>, ldots, v_> à partir de l'espace tangent et w 1, ..., w l < displaystyle w_ <1>, ldots, w_> à partir de l'espace cotangent est noté :

La notation d'indice est basée sur le fait que les tenseurs sont des applications multilinéaires et satisfont donc une loi distributive dans les arguments dans lesquels ils sont linéaires et commutent avec la multiplication avec des scalaires. Cela signifie que z. Par exemple rv 1 + s V 1 < displaystyle rv_ <1> + sV_ <1>> avec r < displaystyle r> et s < displaystyle s> nombres réels et v 1 < displaystyle v_ <1>> et V 1 < displaystyle V_ <1>> de l'espace tangent peut être utilisé à la place de v 1 < displaystyle v_ <1>> et ainsi comment continuer à calculer avec des nombres.

Si la formule ci-dessus est comprise comme une notation coordonnée, elle est facile à comprendre avec la convention de somme. Cependant, cette notation peut également être comprise sans coordonnées, la position des indices ne décrivant que le type de tenseur présent, donc les indices ci-dessus désignent des copies de l'espace tangent et les indices ci-dessous désignent des copies de l'espace cotangent. Le symbole du produit tensoriel est omis dans cette notation, c'est-à-dire que les tenseurs écrits l'un après l'autre sont interprétés comme le produit tensoriel. Avec un indice une fois supérieur et une fois inférieur, une contraction s'entend comme analogue à l'appariement canonique, qui en principe ne dépend pas de la base.

Dans le jargon de la physique, un tenseur est une classe d'équivalence de triplets (B, S, T) < displaystyle (B, S, T)>, consistant en

  1. une base B < displaystyle B> d'un espace vectoriel fixe n < displaystyle n> -dimensionnel V < displaystyle V>, par ex. B. la chambre Minkowski,
  2. une signature S < displaystyle S>, qui est un tuple de longueur s < displaystyle s> avec des entrées S k ∈ < displaystyle S_dans >, k = 1, ..., s < displaystyle k = 1, ldots, s>, is,
  3. et un "hypertuple" T < displaystyle T>, d. H. une carte T : I s → R < displaystyle T colon I ^ à mathbb >, où I = <1, 2, ..., n> < displaystyle I = <1,2, ldots, n >>.
  • La longueur s < displaystyle s> de la signature, qui précise également le nombre d'arguments du mapping T < displaystyle T>, est appelée le niveau du tenseur.
  • La notation de fonction habituelle n'est pas utilisée pour la figure T < displaystyle T>, mais plutôt la notation d'index alternative (et historiquement plus ancienne), similaire aux séquences, où les index peuvent être disposés au-dessus et en dessous du symbole de fonction T < displaystyle T> . La signature indique quels indices sont écrits en haut et lesquels en bas. Il y a une entrée h < displaystyle h> ou t < displaystyle t> dans la signature pour les exposants et les indices de l'index correspondant.
  • Deux triplets (B, S, T) < displaystyle (B, S, T)> et (B ′, S ′, T ′) < displaystyle (B', S', T')> désignent le même tenseur si la signature correspond, d. H. S = S < displaystyle S = S '>, et les composants de T < displaystyle T> et T ′ < displaystyle T'> sont connectés via la matrice de changement de coordonnées A < displaystyle A>. Autrement dit, B = B ′ A < displaystyle B = B'A>, si la base est interprétée comme un vecteur ligne des vecteurs de base et A < displaystyle A> est un × n < displaystyle n times n> matrice. Le comportement de transformation a alors la forme suivante

Relation avec le produit tensoriel géométrique Modifier

où V h : = V < displaystyle V ^: = V> l'espace vectoriel et V t : = V ∗ < displaystyle V ^: = V ^ <* >> est l'espace vectoriel dual des formes linéaires. L'élément lui-même est alors la somme

avec e j h : = e j < displaystyle e_^: = e_> un vecteur de base et e j t : = θ j < displaystyle e_^: = thêta ^> un élément de la double base.

Exemples de niveau 1 modifier

L'objet géométrique invariant est le vecteur

Dans l'espace-temps relativiste les coordonnées sont appelées vecteurs colonnes

L'objet géométrique invariant est le covecteur

Dans l'espace-temps relativiste, les coordonnées sont appelées

La dernière notation utilise la convention de sommation d'Einstein, qui stipule que les indices du même nom sont utilisés pour additionner si l'un est en dessous et l'autre au-dessus. On parle aussi, de manière assez imprécise, de produit scalaire d'un vecteur co- et d'un vecteur contravariant.

Il est facile de calculer qu'il s'agit en fait d'un scalaire, c'est-à-dire d'un scalaire. H. un tenseur invariant par transformation d'ordre 0 :

Deuxième loi de Newton en notation indexée :

Exemples de niveau 2 modifier

L'inverse du tenseur métrique est aussi appelé son forme contravariante désigné.

est une carte quadratique qui mappe le vecteur de position à un nombre réel.

Dans la théorie de la relativité restreinte ou dans l'espace de Minkowski, la matrice de coordonnées du tenseur métrique est diagonale avec des entrées (1, - 1, - 1, - 1) < displaystyle (1, -1, -1, -1)> sur la diagonale, seules les transformations dites de Lorentz sont autorisées comme transformations coordonnées/base, qui laissent cette forme normale du tenseur métrique inchangée. Le vecteur covariant adjoint correspondant se lit dans ces coordonnées :

De plus, leur utilisation dans la théorie de la relativité restreinte permet un passage direct au cas général.

La notation d'index abstrait utilise les formalismes de la convention de sommation d'Einstein pour éviter les difficultés de description des contractions et des différenciations covariantes de la notation tensorielle abstraite moderne et pour préserver la covariance explicite de l'expression.

Il ne dépend pas de l'ordre des arguments, qui correspond aux règles de calcul de la convention de somme d'Einstein. Que l'index abstrait désigne un espace réservé pour un argument ou un argument lui-même dépend de l'interprétation des expressions dans lesquelles certains isomorphismes de l'espace vectoriel naturel sont manifestes. Par exemple, xaya = yaxa < displaystyle x_y ^ = y ^ x_> signifie x (y) = y (x) < displaystyle x (y) = y (x)>, si y V ≅ V ∗ ∗ < displaystyle y in V cong V ^ <** >> identifié avec son élément associé de l'espace dual. Cette notation n'a donc pas besoin de désignation pour l'isomorphisme naturel V → V ∗ < displaystyle V à V ^ <** >>.

Modifier les index abstraits et les espaces tensoriels

Un tenseur homogène général est un élément d'un produit tensoriel arbitrairement souvent répété des espaces vectoriels V < displaystyle V> et V < displaystyle V ^ < ast >>, par exemple :

Maintenant, chaque facteur de ce produit tensoriel reçoit une désignation utilisant une lettre latine en exposant s'il s'agit d'un facteur contravariant (c'est-à-dire V < displaystyle V>) ou en indice s'il s'agit d'un facteur covariant (l'espace dual V ∗ < displaystyle V ^ < ast >>). Le produit est donc aussi

Il est important de savoir que ces termes représentent le même objet. Ainsi les tenseurs de ce type sont représentés par les expressions équivalentes suivantes :

h a b c d e V a b c d e = V V ∗ ⊗ V ⊗ V V ∗ < displaystyle <<_>^>_ dans <<_>^>_= V fois V ^ <*> fois V ^ <*> ofois V ofois V ^ <* >>

Modifier la contraction

T r 12 : V V ⊗ V V V ∗ → V ∗ ⊗ V V ∗ < displaystyle mathrm _ <12>: V otimes V ^ <*> otimes V ^ <*> otimes V otimes V ^ <*> rightarrow V ^ <*> otimes V otimes V ^ <* >>

la trace des deux premiers espaces vectoriels. et

T r 15: V V ⊗ V ∗ V ⊗ V ∗ → V ∗ ⊗ V ⊗ V < displaystyle mathrm _ <15>: V otimes V ^ <*> otimes V ^ <*> otimes V otimes V ^ <*> rightarrow V ^ <*> otimes V ^ <*> otimes V>

la trace du premier et du cinquième espace vectoriel. Ces opérations de piste peuvent être représentées dans la notation d'index abstrait comme suit :

Modifier la carte de tressage

Des cartes dites de tresse existent pour chaque produit tensoriel. Par exemple, l'illustration de la tresse a été échangée

R + (123) R + τ (132) R = 0.

Dans la notation d'index abstrait, l'ordre des index est fixe (généralement ordonné lexicographiquement). Ainsi, une carte de tresse peut être représentée en intervertissant les indices. Par exemple, le tenseur de courbure de Riemann dans la notation d'index abstrait est :


Notation d'index des tenseurs

les Notation d'index est une forme de représentation des tenseurs par écrit, qui est principalement utilisée en physique et parfois aussi dans le sous-domaine mathématique de la géométrie différentielle.

Dans sa forme la plus courante, la notation indique des composantes tensorielles dans certaines coordonnées. Avec le notation d'index abstrait d'autre part, les tenseurs sont appelés indépendants des coordonnées, la notation indiquant le type du tenseur et pouvant représenter des contractions et des différenciations covariantes sans coordonnées. La notation par index abstrait a été introduite par Roger Penrose. & # 911 & # 93

Cette notation est la plus courante dans le contexte de la relativité générale, qui est formulée sous la forme de tenseurs. Certains textes modernes sur la relativité restreinte utilisent également cette notation, et dans le contexte des théories de jauge, on peut également la trouver dans la théorie quantique des champs. Cette notation est particulièrement adaptée aux calculs en coordonnées locales, c'est pourquoi elle est beaucoup plus courante en physique qu'en mathématiques.

Il existe deux formes de base de cette notation. D'une part, les tenseurs à indices représentent des éléments des tenseurs en coordonnées locales.Dans cette variante, la convention de somme d'Einstein est utilisée pour effectuer des contractions ou suivre des formations. La deuxième possibilité est la notation tensorielle abstraite. Dans ce cas, les indices ne montrent plus les composantes en coordonnées, mais ne sont que des symboles qui indiquent le niveau du tenseur.


Notation de Voigt du tenseur de déformation

Une "contraction" quelque peu différente est généralement utilisée pour le tenseur de déformation, à savoir

$ commencer varepsilon_= commencer varepsilon_ <11> & amp varepsilon_ <12> & amp varepsilon_ <13> & amp varepsilon_ <22> & amp varepsilon_ <23> text & amp & amp varepsilon_ <33> fin longrightarrow & amp commencer varepsilon_ <11> varepsilon_ <22> varepsilon_ <33> 2 varepsilon_ <23> 2 varepsilon_ <13> 2 varepsilon_ <12> fin =: commencer varepsilon ^ < texte> _ <1> varepsilon ^ < texte> _ <2> varepsilon ^ < texte> _ <3> varepsilon ^ < texte> _ <4> varepsilon ^ < texte> _ <5> varepsilon ^ < texte> _ <6> fin = varepsilon ^ < texte> _ alpha fin $

Le facteur supplémentaire 2 pour les 3 dernières composantes garantit que le produit scalaire de contrainte en déformation dans la notation de Voigt est égal au produit tensoriel interne dans la notation tensorielle. Ce produit a une signification particulière en raison de la connexion avec l'énergie stockée élastiquement $ F $.

$ sigma ^ < texte> cdot varepsilon ^ < texte> = sigma : varepsilon = 2 F $

Cette relation simple pour le produit scalaire n'est valable que pour la contrainte multipliée par la déformation, pas pour d'autres produits scalaires tels que le carré de la contrainte ou de la déformation, et donc pas non plus pour la norme habituelle.

Droit matériel

La loi des matériaux dans la théorie linéaire de l'élasticité est une application linéaire entre la déformation et la tension. Dans la notation tensorielle, il s'agit d'un tenseur de 4e niveau, qui relie les tenseurs de 2e niveau.

La convention des sommes d'Einstein est utilisée ici. Par exemple, l'une de ces 9 équations est

$ commencer sigma_ <23> & amp = C_ <23kl> varepsilon_ & amp = C_ <2311> varepsilon_ <11> + C_ <2312> varepsilon_ <12> + C_ <2313> varepsilon_ <13> + C_ <2321> varepsilon_ <21> + C_ <2322> varepsilon_ <22> + C_ <2323> varepsilon_ <23> + C_ <2331> varepsilon_ <31> + C_ <2332> varepsilon_ <32> + C_ <2333> varepsilon_ <33> end $

Dans la notation de Voigt, la figure correspondante est une matrice 6x6.

La relation pour les composantes résulte de l'exigence d'équivalence des deux notations :

Pour la notation à 4 indices, la symétrie est supposée dans les deux premiers et derniers indices, c'est-à-dire $ C_= C_ = C_ $. En raison de la symétrie des tenseurs pour la déformation et la tension, cela est possible et habituel sans restreindre la généralité. En raison de l'existence d'un potentiel, $ C ^ < text> $ symétrique et pour la notation tensorielle cela équivaut à $ C_= C_ $, est.

Avantages, inconvénients, avertissements

  • La notation Voigt est beaucoup plus compacte que la notation tensorielle complète.
  • On voit qu'une loi de matériau linéaire (pour laquelle s'appliquent les symétries de C) contient généralement 21 valeurs indépendantes (constantes de matériau). Si C remplit d'autres conditions / symétries, le nombre de constantes est encore réduit.
  • La matrice de rigidité de Voigt peut facilement être inversée.
  • D'autres "règles de contraction" sont également utilisées, par exemple & # 160B. pourrait aussi être : $ varepsilon_4 ^ < text> : = 1 varepsilon_ <12> $, ce qui affecte aussi $ sigma ^ < text> $ et $ C ^ < texte> $ aurait.
  • $ sigma ^ < texte> $ ou $ varepsilon ^ < texte> $ ne sont pas des vecteurs (ni co- ni contravariant). Lorsque les coordonnées changent, elles ne se transforment pas comme des vecteurs. La même chose s'applique aux objets en notation Voigt qui ont plusieurs indices.
  • Par exemple, si vous & # 160B. interpréter les "vecteurs" en notation Voigt comme des vecteurs et se référer à l'espace vectoriel associé $ V ^ < text> $ définir une norme comme d'habitude, alors il faudrait déclarer qui s'applique en général
  • Dans de nombreuses sources, une seule des deux notations est utilisée : soit la notation de Voigt, soit la notation tensorielle plus allongée, dans laquelle C a quatre indices. Les auteurs qui utilisent la notation de Voigt, dans certains cas, se passent de la désignation des symboles de Voigt avec un exposant v ou une autre désignation. Par exemple, vous utilisez & # 160B. le symbole $ sigma $ si vous voulez dire le vecteur de contrainte de Voigt.

Équivalence orthographique

La notation de Voigt est équivalente à la notation d'index détaillée pour les tenseurs. Plus précisément, ce qui suit s'applique

Ici F est l'énergie libre, voir par exemple & # 160B. doi: 10.1007 / b93853.

On peut facilement montrer l'équivalence des deux orthographes. par exemple & # 160B. est

Indulgence

Si, au lieu de C, la flexibilité S est supposée selon

et si l'on demande les mêmes symétries pour S que celles demandées précédemment pour C, alors on arrive à la représentation suivante de la conformité en notation de Voigt


Table des matières

En géométrie différentielle, la géométrie des espaces courbes est étudiée, qui sont décrits par ce qu'on appelle des variétés différentiables. Ces variétés permettent de définir un espace vectoriel réel d < displaystyle d> -dimensionnel en chaque point p < displaystyle p>, qui est appelé l'espace tangent en ce point. Si la variété est intégrée dans un espace de dimension supérieure, l'espace tangent correspond exactement à l'hypersurface de dimension d < displaystyle d> qui touche la variété au point p < displaystyle p> et lui est tangente à cet endroit. L'espace dual de l'espace tangent est appelé espace cotangent.

Les représentations de coordonnées des champs de tenseurs doivent remplir un certain comportement de transformation sous des représentations de changement de carte, c'est-à-dire des difféomorphismes locaux.

La notation d'index écrit les arguments, dans lesquels le tenseur est linéaire, non pas au moyen de parenthèses d'argument, mais au moyen d'indices. Ces indices sont en exposant ou en indice, selon que l'argument provient de l'espace tangent ou de l'espace cotangent. A (k, l) < displaystyle (k, l)> - tenseur T < displaystyle T> avec les arguments v 1, ..., v k < displaystyle v_ <1>, ldots, v_> à partir de l'espace tangent et w 1, ..., w l < displaystyle w_ <1>, ldots, w_> de l'espace cotangent est noté :

La notation d'indice est basée sur le fait que les tenseurs sont des applications multilinéaires et satisfont donc une loi distributive dans les arguments dans lesquels ils sont linéaires et commutent avec la multiplication avec des scalaires. Cela signifie que z. Par exemple rv 1 + s V 1 < displaystyle rv_ <1> + sV_ <1>> avec r < displaystyle r> et s < displaystyle s> nombres réels et v 1 < displaystyle v_ <1>> et V 1 < displaystyle V_ <1>> de l'espace tangent peut être utilisé à la place de v 1 < displaystyle v_ <1>> et ainsi comment continuer à calculer avec des nombres.

Si la formule ci-dessus est comprise comme une notation coordonnée, elle est facile à comprendre avec la convention de somme. Cependant, cette notation peut également être comprise sans coordonnées, la position des indices ne décrivant que le type de tenseur présent, donc les indices ci-dessus désignent des copies de l'espace tangent et les indices ci-dessous désignent des copies de l'espace cotangent. Le symbole du produit tensoriel est omis dans cette notation, c'est-à-dire que les tenseurs écrits l'un après l'autre sont interprétés comme le produit tensoriel. Avec un indice une fois supérieur et une fois inférieur, une contraction s'entend comme analogue à l'appariement canonique, qui en principe ne dépend pas de la base.

Dans le jargon de la physique, un tenseur est une classe d'équivalence de triplets (B, S, T) < displaystyle (B, S, T)>, consistant en

  1. une base B < displaystyle B> d'un espace vectoriel fixe n < displaystyle n> -dimensionnel V < displaystyle V>, par ex. B. la chambre Minkowski,
  2. une signature S < displaystyle S>, qui est un tuple de longueur s < displaystyle s> avec des entrées S k ∈ < displaystyle S_dans >, k = 1, ..., s < displaystyle k = 1, ldots, s>, is,
  3. et un "hypertuple" T < displaystyle T>, d. H. une carte T : I s → R < displaystyle T colon I ^ à mathbb >, où I = <1, 2, ..., n> < displaystyle I = <1,2, ldots, n >>.
  • La longueur s < displaystyle s> de la signature, qui précise également le nombre d'arguments du mapping T < displaystyle T>, est appelée le niveau du tenseur.
  • La notation de fonction habituelle n'est pas utilisée pour la figure T < displaystyle T>, mais plutôt la notation d'index alternative (et historiquement plus ancienne), similaire aux séquences, où les index peuvent être disposés au-dessus et en dessous du symbole de fonction T < displaystyle T> . La signature indique quels indices sont écrits en haut et lesquels en bas. Il y a une entrée h < displaystyle h> ou t < displaystyle t> dans la signature pour les exposants et les indices de l'index correspondant.
  • Deux triplets (B, S, T) < displaystyle (B, S, T)> et (B ′, S ′, T ′) < displaystyle (B', S', T')> désignent le même tenseur si la signature correspond, d. H. S = S < displaystyle S = S '>, et les composants de T < displaystyle T> et T ′ < displaystyle T'> sont connectés via la matrice de changement de coordonnées A < displaystyle A>. Autrement dit, B = B ′ A < displaystyle B = B'A>, si la base est interprétée comme un vecteur ligne des vecteurs de base et A < displaystyle A> est un × n < displaystyle n times n> matrice. Le comportement de transformation a alors la forme suivante

Relation avec le produit tensoriel géométrique Modifier

où V h : = V < displaystyle V ^: = V> l'espace vectoriel et V t : = V ∗ < displaystyle V ^: = V ^ <* >> est l'espace vectoriel dual des formes linéaires. L'élément lui-même est alors la somme

avec e j h : = e j < displaystyle e_^: = e_> un vecteur de base et e j t : = θ j < displaystyle e_^: = thêta ^> un élément de la double base.

Exemples de niveau 1 modifier

L'objet géométrique invariant est le vecteur

Dans l'espace-temps relativiste les coordonnées sont appelées vecteurs colonnes

L'objet géométrique invariant est le covecteur

Dans l'espace-temps relativiste, les coordonnées sont appelées

La dernière notation utilise la convention de sommation d'Einstein, qui stipule que les indices du même nom sont utilisés pour additionner si l'un est en dessous et l'autre au-dessus. On parle aussi, de manière assez imprécise, du produit scalaire d'un vecteur co- et d'un vecteur contravariant.

Il est facile de calculer qu'il s'agit en fait d'un scalaire, c'est-à-dire d'un scalaire. H. un tenseur invariant par transformation d'ordre 0 :

Deuxième loi de Newton en notation indexée :

Exemples de niveau 2 modifier

L'inverse du tenseur métrique est aussi appelé son forme contravariante désigné.

est une carte quadratique qui mappe le vecteur de position à un nombre réel.

Dans la théorie de la relativité restreinte ou dans l'espace de Minkowski, la matrice de coordonnées du tenseur métrique est diagonale avec des entrées (1, - 1, - 1, - 1) < displaystyle (1, -1, -1, -1)> sur la diagonale, seules les transformations dites de Lorentz sont autorisées comme transformations coordonnées/base, qui laissent cette forme normale du tenseur métrique inchangée. Le vecteur covariant adjoint correspondant se lit dans ces coordonnées :

De plus, leur utilisation dans la théorie de la relativité restreinte permet un passage direct au cas général.

La notation d'index abstrait utilise les formalismes de la convention de sommation d'Einstein pour éviter les difficultés de description des contractions et des différenciations covariantes de la notation tensorielle abstraite moderne et pour préserver la covariance explicite de l'expression.

Il ne dépend pas de l'ordre des arguments, qui correspond aux règles de calcul de la convention de somme d'Einstein. Que l'index abstrait désigne un espace réservé pour un argument ou un argument lui-même dépend de l'interprétation des expressions dans lesquelles certains isomorphismes de l'espace vectoriel naturel sont manifestes. Par exemple, xaya = yaxa < displaystyle x_y ^ = y ^ x_> signifie x (y) = y (x) < displaystyle x (y) = y (x)>, si y V ≅ V ∗ ∗ < displaystyle y in V cong V ^ <** >> identifié avec son élément associé de l'espace dual. Cette notation n'a donc pas besoin de désignation pour l'isomorphisme naturel V → V ∗ < displaystyle V à V ^ <** >>.

Modifier les index abstraits et les espaces tensoriels

Un tenseur homogène général est un élément d'un produit tensoriel arbitrairement souvent répété des espaces vectoriels V < displaystyle V> et V < displaystyle V ^ < ast >>, par exemple :

Maintenant, chaque facteur de ce produit tensoriel reçoit une désignation utilisant une lettre latine en exposant s'il s'agit d'un facteur contravariant (c'est-à-dire V < displaystyle V>) ou en indice s'il s'agit d'un facteur covariant (l'espace dual V ∗ < displaystyle V ^ < ast >>). Le produit est donc aussi

Il est important de savoir que ces termes représentent le même objet. Ainsi les tenseurs de ce type sont représentés par les expressions équivalentes suivantes :

h a b c d e V a b c d e = V V ∗ ⊗ V ⊗ V V ∗ < displaystyle <<_>^>_ dans <<_>^>_= V fois V ^ <*> fois V ^ <*> ofois V ofois V ^ <* >>

Modifier la contraction

T r 12 : V V ⊗ V V V ∗ → V ∗ ⊗ V V ∗ < displaystyle mathrm _ <12>: V otimes V ^ <*> otimes V ^ <*> otimes V otimes V ^ <*> rightarrow V ^ <*> otimes V otimes V ^ <* >>

la trace des deux premiers espaces vectoriels. et

T r 15: V V ⊗ V ∗ V ⊗ V ∗ → V ∗ ⊗ V ⊗ V < displaystyle mathrm _ <15>: V otimes V ^ <*> otimes V ^ <*> otimes V otimes V ^ <*> rightarrow V ^ <*> otimes V ^ <*> otimes V>

la trace du premier et du cinquième espace vectoriel. Ces opérations de piste peuvent être représentées dans la notation d'index abstrait comme suit :

Modifier la carte de tressage

Des cartes dites de tresse existent pour chaque produit tensoriel. Par exemple, l'illustration de la tresse a été échangée

R + (123) R + (132) R = 0.

Dans la notation d'index abstrait, l'ordre des index est fixe (généralement ordonné lexicographiquement). Ainsi, une carte de tresse peut être représentée en intervertissant les indices. Par exemple, le tenseur de courbure de Riemann dans la notation d'index abstrait est :


Lien entre grandeurs physiques

Équations de taille

F. = 750 & # 160N = 750 & # 160kg m/s 2 = m·une
car 1 & # 160N (= 1 & # 160Newton) = 1 & # 160kg · m / s 2

La représentation des lois naturelles et des relations techniques dans les équations mathématiques est appelée Équations de taille. Les symboles d'une équation de quantité ont la signification de quantités physiques, à moins qu'ils ne soient destinés à être des symboles de fonctions ou d'opérateurs mathématiques. Les équations de taille s'appliquent quel que soit le choix des unités.

Les équations de taille relient différentes quantités physiques et leurs valeurs les unes aux autres. Pour l'évaluation, les symboles de formule doivent être remplacés par le produit de la valeur numérique et de l'unité. Les unités utilisées ne sont pas pertinentes.

Prise en compte des dimensions

La validité d'une équation de quantités peut être réfutée en considérant les dimensions : S'il y a des dimensions différentes des deux côtés de l'équation, c'est faux.

Opérations arithmétiques

Toutes les opérations arithmétiques qui seraient possibles avec des nombres purs ne sont pas utiles pour les quantités physiques. Il a été démontré qu'un petit nombre d'opérations arithmétiques est suffisant pour décrire toutes les occurrences naturelles connues.

  • L'addition et la soustraction ne sont possibles qu'entre des tailles du même type de taille.
  • La multiplication et la division de différentes tailles ainsi que des nombres purs sont possibles sans restriction. Souvent le produit ou le quotient est une nouvelle grandeur physique.
  • Transzendente Funktionen wie $ exp,,log,,sin,,cos,, anh $ usw. sind nur für reine Zahlen definiert und damit nur bei dimensionslosen Größen möglich.
  • Das Differential einer Größe ist von der gleichen Größenart wie die Größe selbst. Differential- und Integralrechnung ist uneingeschränkt möglich.

Ein Sachverhalt ist falsch dargestellt, wenn diese Rechenoperationen in unsinniger Weise auszuführen wären. Die entsprechende Kontrolle wird in der Dimensionsanalyse durchgeführt, um die Existenz einer noch unbekannten Gesetzmäßigkeit zu überprüfen.

Zahlenwertgleichungen

In Zahlenwertgleichungen haben die Formelzeichen ausschließlich die Bedeutung von Zahlenwerten. Diese Gleichungen sind daher abhängig von der Wahl der Einheiten und nur brauchbar, wenn diese auch bekannt sind. Das Benutzen von Größenwerten in anderen Einheiten führt leicht zu Fehlern. Es empfiehlt sich daher, Berechnungen grundsätzlich mit Größengleichungen durchzuführen und diese erst im letzten Schritt auszuwerten.

Formeln in historischen Texten, „Faustformeln“ und empirische Formeln sind meistens in der Form von Zahlenwertgleichungen angegeben. In einigen Fällen stehen die zu benutzenden Einheiten mit in der Gleichung. Die dabei manchmal anzutreffende Verwendung von eckigen Klammern um die Einheitenzeichen, wie etwa $ mathrm <[V]>$ anstatt $ mathrm $ , ist nicht normgerecht. DIN 1313:1998-12, Kapitel 4.3 sieht Formelzeichen in geschweiften Klammern oder die Division der Größen durch die jeweils gewünschte Maßeinheit vor. Man erhält dann eine sogenannte zugeschnittene Größengleichung.


Transformation von Skalaren

Ein Skalar ist die einfachste Form eines Tensors. Der Skalar ist ein Tensor mit Rang 0. Der Wert eines Skalars h ngt nicht vom gew hlten Koordinatensystem ab.

Ein Beispiel f r einen Skalar ist die Temperatur. An jedem Punkt des Raumes kann eine andere Temperatur herrschen, aber diese Temperatur ist unabh ngig davon, in welchem Koordinatensystem sie gemessen wird.

Man sagt: Ein Skalar ist invariant bez glich Koordinatentransformationen.

Mathematisch kann man die Transformation eines Skalars wiefolgt darstellen:

Der Skalar an der Stelle hat im Koordinatensystem Y denselben Wert wie im Koordinatensystem X an derselben Stelle.

Hinweis: Die Koordinaten des Punktes k nnen sich in den beiden Koordinatensystemen unterscheiden, was uns in der Tensor-Rechnung jedoch nicht interessiert. Es geht darum, wie sich der Tensor selbst transformiert.


Tensoren - Chemie und Physik

In this monograph, based on a course that the author taught at ETH, it is shown that a spectacular formal simplification of the equations representing the basic laws of classical physics (e.g. the Maxwell equations of the electromagnetic field) is achieved if the accustomed three-vectors are replaced by four-tensors.

As an introduction into the subject of four-tensors, the first part of the book treats basic chapters of special relativity theory. The text is aimed at all persons interested in physics the readers are expected to know high-school mathematics and physics. Exercises and their solutions are included at the end of most chapters.

In dieser (englischen) Monographie, die auf einer Vorlesung des Autors an der ETH Zürich beruht, wird gezeigt, dass die Gleichungen, welche die grundlegenden Naturgesetze darstellen, (z.B. die Maxwell-Gleichungen des elektromagnetischen Feldes) formal stark vereinfacht werden, wenn man bei ihrer Niederschrift die gewohnten Dreiervektoren durch Vierertensoren ersetzt.

Zur Einführung in das Gebiet der Vierertensoren behandelt der erste Teil des Buches grundlegende Kapitel der Speziellen Relativitätstheorie. Der Text richtet sich an alle Physik- Interessierten es wird vorausgesetzt, dass die Leserinnen und Leser die Mittelschul-Mathematik und -Physik kennen. Übungsaufgaben und ihre Lösungen sind am Ende der meisten Kapitel eingefügt .

Die Stiftung Kreatives Alter hat Reinhart Frosch für sein Buch einen Hauptpreis verliehen. Die Preisübergabe fand am 28. Oktober 2008 im Kongresshaus Zürich statt.

Aus der Laudatio:
"Mit seiner speziellen Relativitätstheorie hat Albert Einstein gezeigt, dass der Raum und die Zeit infolge der Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit miteinander untrennbar verbunden sind. Die Festlegung eines Ereignisses in den drei Dimensionen des Raumes und in der Zeit erfordert daher eine vierdimensionale Sichtweise, wofür uns die Mathematik sogenannte Vierer-Tensoren zur Verfügung stellt. Hundert Jahre nach Einstein wird die klassische Physik an Mittel- und Hochschulen immer noch im alten Stil gelehrt.

Gestützt auf seine Lehrerfahrung hält es dagegen Reinhart Frosch für sinnvoll, die Einsteinsche Vierdimensionalität von allem Anfang an in die Physik einzuführen und auch die klassische Physik in der Sprache der Vierer-Tensoren zu formulieren. Er legt dazu gleich ein vollständiges Lehrbuch vor. In klarer Darstellung, geschickt ergänzt durch Übungsaufgaben, ist es ihm damit gelungen, den Vierer-Tensoren ihren Platz als 'die Muttersprache' der Physik zuzuweisen. So können wir dem Buch nur wünschen, dass es bald seinen Platz im Physikunterricht findet."


Tensoren - Chemie und Physik

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Ich wage mich mal so weit vor, zu behaupten, dass Tensoren erster Stufe nicht einfach verjüngt werden können.

Eine Tensorverjüngung ist eine lineare Abbildung, die aus einem (i,j)-Tensor (also i-fach ko- und j-fach kontravariant, ein Tensor i+j-ter Stufe) einen (i-1,j-1)-Tensor macht.
Ein (i,j)-Tensor ist z.B. eine multilineare Abbildung, die i Vektoren aus einem Vektorraum V und j Kovektoren aus dem Dualraum $V^*$ ein Element aus dem V zugrunde liegenden Körper, also z.B. eine Zahl, zuordnet. "Visuell" ist das wie eine kleine Maschine mit Steckern (sprich Vektoren, die in einzelne Steckdosen gesteckt werden können) und Steckdosen (in die einzelne Stecker von außen gesteckt werden können): sobald alle Stecker und Steckdosen des Gerätes verbunden sind (also alle (Ko-)vektoren gegeben wurden), zeigt sie dir eine Zahl an.
Verjüngung ist in diesem Bilde, du einen Stecker der Maschine selbst in eine der Dosen steckst. Dann hast du eine Maschine mit je einem Stecker und einer Dose weniger. Wenn sie nur einen Stecker und eine Dose hatte, dann sind alle Ein/Ausgänge belegt und sie zeigt dir eine Zahl an: die Spur der Matrix, die diese Maschine repräsentiert.
Jede Matrix (bzw. die dazugehörige lineare Abbildung) ist nämlich isomorph zu einer Summe von Tensorprodukten $sumlimits_a_ heta^iotimes e_j$, mit $ heta^iin V^*$ und $e_jin V$. Die duale Paarung $V^* imes V o K$ induziert dir damit die Abbildung der Verjüngung.
Ein Vektor ist ein (0,1)-Tensor. Für den kann man die obige Prozedur nicht ohne Weiteres anwenden (in welches Loch soll man den Stecker stecken?).
Dafür jetzt einfach die Norm (oder ein Skalarprodukt) des Vektors mit sich selbst zu definieren, halte ich für ad hoc, denn Tensoren (und die Verjüngung selbiger) sind eigentlich unabhängig von Normen und Skalarprodukten definiert.

p.s. Natürlich kannst du durch "Indexziehen" z.B. auch aus einem (0,2)-Tensor einen (1,1)-Tensor machen, den du dann verjüngen kannst. Das setzt dann aber eine Metrik voraus. Aus einem (0,1) einen (1,0)-Tensor zu machen, hilft hier aber auch nicht.

Ich würde argumentieren, dass $x_1$ und $x_2$ ja Vektoren sind und entsprechend der Transformationsvorschrift gehorchen. Dann tut das aber auch ihre Summe (durch die Linearität der Trafo), ist also wiederum ein Tensor.

Aber ich fürchte, ich kann dir da nicht weiterhelfen, denn schon das Eingangsbeispiel "a ist ein Tensor, weil es dir Spur eines (1,1)-Tensors ist" und nicht einfach nur, weil es ein Skalar ist, ist von hinten durch die Brust ins Auge argumentiert und für mich nicht nachvollziehbar. Genau so gut ist für jeden Vektor x auch $x_1+x_2$ ein Skalar und damit trivial ein Tensor. Selbiges gilt auch für dein Gegenbeispiel. Damit die Aufgabe spannend wird, muss schon wenigstens mal ein einziger Index an der Größe stehen, die man untersuchen soll.

Zwar ist ein Skalar immer eine Zahl, aber nicht jede Zahl ist ein Skalar (im Sinne eines Tensors 0. Stufe).

Und genauso wie eine einzelne Komponente eines Vektors kein Skalar in diesem Sinne ist, ist es auch die Summe $x_1+x_2$ nicht.

Nein, das versteht sich nicht von selbst, denn genau diese Form der Definition lässt sich in der Differentialgeometrie sauber formulieren.


BLOG: Graue Substanz

Nein, keine exotische Krankheit, die die Netzhaut befällt, im Gehirn existieren Karten des Gesichtsfeldes, Retinotopie genannt, von Retina, die Netzhaut. Die Retinotopie sollte man sich als solch eine Deformation vorstellen. Warum das? Immerhin ist das ja nun nicht, was wirklich geschieht. Es wird lediglich eine Abbildung von Netzhaut zum Cortex durch neuronale Verschaltungen erzeugt, ohne das Gewebe deformiert wird.

Meine Antwort lautet, weil uns der mathematische Apparat, der mit der Kontinuumsmechanik elastischer Medien voll ausgearbeitet zur Verfügung steht, die intuitive Beschreibung der Retinotopie liefert, insbesondere die Lagrange&rsquosche Betrachtungsweise.

Keine Sorge, ich werde das nicht weiter mathematisch ausführen. Wer die Kontinuumsmechanik kennt, versteht schnell worum es geht, und wer sie nicht kennt, wird auch durch einen Blogbeitrag nicht dahin gebracht.

Stattdessen will ich die Idee dahinter skizzieren. Ich will diesen mathematische Apparat jenen gegenüberstellen, der die übliche Beschreibung d er Retiotopie liefert, die Elektrostatik &ndash ja Elektrostatik, das klingt zunächst noch fremdartiger in diesem Zusammenhang. Mathematik ist halt universell anwendbar . C orticale Karten im Allgemeinen und Retinotopie im Besonderen wird meist von Physikern erforscht. Ideen und Begriffe finden so Einzug, die man im Laufe einer klassischen Ausbildung mitbekommen hat. (Und darum empfehle ich auch jeden ein Physikstudium, wenn das Interesse in den theoretischen Neurowissenschaften liegt.)

Schauen wir zunächst auf die klassische “flache” Retinotopie, also auf die Abbildung von der Netzhaut zur Sehrinde. Die klassische Studie, die nahezu in jedem Lehrbuch Eingang fand, stammt von Roger Tootell, der 1982 im Tierexperiment bei Primaten die Retinotopie vermessen hat mit einem blinkenden Polargitter als Reizvorlage (oben, links) aus drei konzentrischen Kreisen (gezeigt sind oben nur die Halbkreise) und fünf radiale Strahlen (Meridiane) [1]. Dazu nutzte er die 2-Deoxyglucose Methode: Radioaktiv markierte Glukose wurde injeziert und wird darauffolgend nur von den durch das blinkende Gitter gereizten Neuronen im visuellen Kortex aufgenommen. Ein Film wird später &mdash Affe tot &mdash durch die Radioaktivität des Liganden belichtet (oben, rechts). Heute haben wir nicht-invasive Methoden.

Diese Abbildung wird mathematisch durch den komplexen Logarithmus beschrieben (auch hier gilt, wer komplexe Funktionentheorie kennt, sieht und versteht sofort mehr, nötig ist es nicht, die Bilder sollen ausreichen).

Oben in (A) ist wieder ein Polarkoordinatengitter der halben Netzhaut gezeigt. Innen grün und weiter aussen blau sind nun die Halbkreise mit konstanten Polabstand (Exzentrizität) zum Zentrum des Gesichtsfelds gezeigt. Rot sind die Meridiane dieser rechten Netzhaut, d.h. Gesichtsfeldhälfte. Dieses Gitter ist in (B) so gezeigt, wie es retinotop in der linken Hemisphäre unseres Gehirns, in der primären Sehrinde, durch den komplexen Logarithmus mathematisch abgebildet wird. HM bezeichnet die corticale Repräsentation des horizontalen Meridians.

Dazu braucht man sicher keine Kontinuumsmechanik elastischer Medien. Eher schon die Laplace-Gleichung aus der Elektrostatik, auch Potentialgleichung genannt. Diese Retinotopie ist auch unter dem Namen “monopole mapping” bekannt. Womit man schlicht meint, dass es so aussieht, wie wenn im Zentrum ein geladenes Teilchen säße (der Monopol). Die retinotope Repräsentation der Halbkreise und radialen Meridianen im Kortex entsprechen den Isopotenziallinien bzw. Feldlinien, wenn eine Gegenladung sich rechts im Unendlichen befindet. Es gibt übrigens auch eine Erweiterung, das “wedge-dipole mapping”.

Dies sind Lösungen der Laplace-Gleichung, als harmonische Funktionen bezeichnet. Sie besitzen nette Eigenschaften, zu vorderst, dass der Lupenfaktor (in der Sprache der Retinotopie, nicht der der Elektrostatik) von Netzhaut zum Cortex nicht von der Richtung abhängt. Man nimmt an, dass retinotope Karten sich selbstorganisiert formen und dieser Musterbildungsprozess harmonische Funktionen erzwingt.

Nun liegt die primäre Sehrinde in einer corticalen Falte, dem Sulucs calcarinus. Schon im letzten Beitrag “Warum ist die Großhirnrinde krumm?” bin ich ausführlich darauf eingegangen.

Ich beschränke mich daher nun auf die Frage, was bringt diese Krümmung für die Retinotopie mit sich, wie beschreibe ich die Retinotopie nun mathematisch? Das Bild oben ruft ja geradezu nach der Kontinuumsmechanik elastischer Medien.

Als ich mir überlegt habe, wie nun die Retinotopie in diese Falte kommt, habe ich die Elektrostatik Beiseite geschoben. Harmonische Funktionen haben ein reiche innere Struktur, eine viel zu reiche innere Struktur, von der wir letztlich gar nicht Wissen, ob diese so gegeben ist. Sogar für flache Retinotopie nimmt man manchmal andere Funktionen, es findet sich in dem sehr guten Lehrbuch “Theoretical Neuroscience” von Dayan und Abbot eine nicht-harmonische Funktion. In einem Kommentar (Comments concerning pg 57, eqns 2.13-2.171) wurde allerdings zurecht darauf hingewiesen, dass die inneren Struktur fälschlich totzdem angenommen wurde, nämlich, dass der Lupenfaktor von Netzhaut zum Cortex nicht von der Richtung abhängt in dieser nicht-harmonische Funktion. Das geht gar nicht. Oups.

Wie gesagt, das zu verstehen, bedürfte etwas Hintergrund, den ich hier nicht leisten kann. Verkürzt gesagt, in dem Lehrbuch nahm man sich gewisse Freiheiten, die durch die Hintertür wieder eingeschränkt wurde, und hat so schlicht einen mathematisch peinlichen Fehler gemacht. Warum? Weil man nicht den richtigen mathematischen Apparat nutzte. Tensoren.

Folgendes war das Problem: Ich will einerseits die anatomische Falte mathematisch in einem bestimmten Koordinatensystem, nämlich in dem der Netzhaut. Das ist die Definition der Retinotopie. Doch eigentlich suche ich eine mathematische Darstellung des Problems der Abbildung zweier Flächen. Dieses muss selbstverständlich von seiner Koordinatendarstellung unabhängig sein, diese ist letztlich beliebig. Das ist, was wir eine tensorielle Beschreibung nennen. Damit war klar: um beschreiben zu können, wo in der retinotopen Karte ein durch Krümmung erzeugter Überschuss an corticaler Fläche aus Sicht der Netzhaut liegt, helfen nur Verzerrungstensoren, wie der rechte und linke Cauchy-Green Tensor und, wie in ingenieurtechnischen Anwendungen viel und gerne genutzt, die Green-Lagrange und Euler-Almansi-Verzerrungstensoren. Fast so schöne Namen, wie die der Anatomie.

Bei dieser knappen Erklärung, warum Kontinuumsmechanik elastischer Medien hilfreich ist, nämlich der Koordinaten-freien Tensor-Beschreibung des Problems, will ich es belassen. Das Hauptergebnis, eine vorhergesagte Überkompensierung, als virtueller “visueller streak” bezeichnet, eine Art corticale ‘Megapixel’-Ausflösung des Horizonts, war schon Thema zuvor. Ich greife das Thema “Megapixel im Hirn” auch sicher nochmal , dann völlig unmathematisch, in einem eigenen Beitrag auf.

Abbildung Tootel: Bildzitat aus [1].

Abbildung: Displacement of a continuum , Wikipedia, Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported

[1] RB Tootell, MS Silverman, E Switkes and RL De Valois, Deoxyglucose analysis of retinotopic organization in primate striate cortex,(1982) Science 218, 902-904, DOI:10.1126/science.7134981

Eingereichte Arbeit erhältlich auf Anfrage:

M.A. Dahlem and J. Tusch, Cortical magnification tensor predicts a virtual visual streak in humans.

Veröffentlicht von Markus A. Dahlem

Markus Dahlem forscht seit über 20 Jahren über Migräne, hat Gastpositionen an der HU Berlin und am Massachusetts General Hospital. Außerdem ist er Geschäftsführer und Mitgründer des Berliner eHealth-Startup Newsenselab, das die Migräne- und Kopfschmerz-App M-sense entwickelt.

3 Kommentare

Topologie von Neuronenverbänden wichtig

Wenn man von der Analogie Hirn Computer herkommt wird man der Hirntopologie und dem Zusammenhang zwischen geometrischer Anordnung von Sensoren und geometrischer Anordnung ihrer zugehörigen Verarbeitungsneuronen kaum Beachtung schenken, denn die räumliche Anordnung von Elementen wie Speicher oder CPU in einem Computer berücksichtigt nicht die einzelnen Speicherzellen oder einzelne Untereinheiten einer CPU. Letztlich weil es gar nicht so viele Verbindungen zwischen den Komponenten eines Computers gibt und man Bussysteme verwendet um Leitungen einzusparen.

Das ist wohl einer der grössten Unterschiede zwischen Elektronik und Neuronik, dass nämlich die Hardware in den neuronalen Netzwerken eine sehr viel grössere Rolle spielt, dass diese Hardware in gewissen Grenzen plastisch ist, die Nachbarschaftsbeziehungen aber eine entscheidende Rolle spielen für das was überhaupt realisiert und plastisch umgeformt werden kann. Nachbarschaftsbeziehungen spielen auch darum eine so grosse Rolle, weil Neuronen und der Austausch von Informationen zwischen Neuronen verglichem mit der Elektronik sehr langsam sind. Wenn man dies bedenkt und zudem berücksichtigt, dass trotz den langsamen Einzelementen ein Gehirn als Ganzes recht schnell zu “Resultaten” kommt, so muss eigentlich die Topologie eines neuronalen Verbandes eine wichtige Rolle spielen. Ansonsten, wenn das Hirn nicht das Optimale aus seiner Verschaltung und seiner Topologie herausholen würde, wäre es nicht zu den Leistungen fähig, die wir beobachten.

Sehschärfe-Intensität der Aufmerksamkeit

Sehr geehrte Herr Markus A. Dahlem,
Mein Gedankenexperiment beleuchtet Theorien über die visuelle Wahrnehmung durch theoretische und empirische Anschauung von außen, da der Neurologische Aspekt fehlt. Ich habe das Frontales Augenfeld Komplex Adaptives System -Experten Aufmerksamkeits-Trainingssystem (kurz FAKAS-EAT) entwickelt und nun möchte ich die Gelegenheit haben es zu publizieren.
angesichts Ihrer beträchtlich mathematischen Tätigkeit, und Meiner Mitarbeit (1970-1974) mit Prof. Otto Detlev Creutzfeld am Max-Planck-Institut für Psychiatrie und Prof. Dr. Wolf Joachim Singer an der TU-München mit dem Thema „Die Funktion der telencephalen Kommissuren für bilaterale Synchronisierung des EEG„
• bitte ich Sie mir die Möglichkeit zu geben, sowohl Ihnen als auch in einem Institut meine Arbeit über die visuellen Wahrnehmung der Kognitions- Wissenschaft vorzuführen. Thema: „Zu den kognitiven Fähigkeiten der Menschen“. Speziell: „Objektabbildung auf der Retina: Sehschärfe -Intensität der Aufmerksamkeit -Algorithmus (Mathematische Funktions-Darstellung der Fovea centralis)“.
Parallel und ideologisch gleich dem Spruch Alles ist Natur versuchte ich naturalistischen neurophysiologischen Hirnforschungen an eine kybernetische Position hinzuführen, bei der alles (auch das Unangenehme) möglichst genau dargestellt wird. Infolgedessen stellt meine Forschung einer neuen Therapie-Methode für unheilbaren Wahrnehmungs- und Informationsverarbeitungsstörungen des Gehirns zur Verfügung. Beispielweise, Schwächen in sozialer Interaktion und Kommunikation wie Autismus etc.
Ich kann Ihnen einen kleinen aber vollständigen Teil von meiner Arbeit senden (biomathematische Beschreibung der messbaren Größe Intensität der Aufmerksamkeit –Algorithmus).
Finanziellen Möglichkeiten habe ich keine, nicht einmal für die Übersetzung in Englisch.

Die Titel Dr. oder Prof. habe ich nicht. Ich bin Forscher in keine Uni. Ich bin nur Diplom Ing. von der TU-München (1974). Wissenschaftlich kann ich leider nur in der Deutschen Sprache schreiben.
Mit herzlichen Grüßen und vielem Dank im Voraus.
Nikolaus – Helie Papadeas

Sehr geehrter Herr Nikolaus Helie Papadeas,

ich übersah zunächst Ihren Kommentar.

Ich weiß auch nicht, ob ich der Rcihtige Ansprechpartner bin. Sie können mir aber sehr gerne mal per Email etwas zusenden.



Commentaires:

  1. Sherman

    Discussion sans fin :)

  2. Nabi Ulmalhamsh

    Merci pour l'aide dans ce domaine. Chez vous le forum remarquable.

  3. Llew

    Vous pouvez vous recommander de visiter le site où il existe de nombreux articles sur le sujet.

  4. Duzilkree

    C'est dommage que je ne puisse pas participer à la discussion maintenant. Je ne possède pas les informations nécessaires. Mais avec plaisir, je regarderai ce thème.



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