Introduction à la cinétique IV (systèmes biologiques)

Le modèle Lotka-Volterra

Dans les années 1920, A. Volterra a mis en place un modèle mathématique pour décrire l'interaction dans les situations prédateur-proie. Ce modèle est l'une des applications les plus réussies des mathématiques en biologie.

définition

Le modèle prédateur-proie, ou 1ère loi de Lotka-Volterra, stipule que la proie augmente en premier, ce qui entraîne une augmentation de la population du prédateur. Cela décime à son tour la population de proies et finalement, après un certain décalage, la population de prédateurs également.

Les relations entre prédateur et proie sont décrites à l'aide du système d'équations différentielles suivant (deux équations différentielles couplées, introduction) :

$$\begin{array}{l}{N}^{\mathrm{B.}}\underset{\text{augmenter}}{\overset{{\mathrm{??}}_1}{\to }}{N}^{\mathrm{B.}}\underset{\text{acceptation}}{\overset{{\mathrm{??}}_2{N}^{\mathrm{R.}}}{\to }}{N}^{\mathrm{B.}}\\ N^{\mathrm{R.}}\underset{\text{acceptation}}{\overset{{\mathrm{??}}_1}{\to }}{N}^{\mathrm{R.}}\underset{\text{augmenter}}{\overset{{\mathrm{??}}_2{N}^{\mathrm{B.}}(t)}{\to }}{N}^{\mathrm{R.}}\\ \frac{\mathrm{ré}{N}^{\mathrm{B.}}(t)}{\mathrm{ré}t}={\mathrm{??}}_1{N}^{\mathrm{B.}}(t)-{\mathrm{??}}_2{N}^{\mathrm{R.}}(t)N^{\mathrm{B.}}(t)=N^{\mathrm{B.}}(t)({\mathrm{??}}_1-{\mathrm{??}}_2{N}^{\mathrm{R.}}(t))\\ \frac{\mathrm{ré}{N}^{\mathrm{R.}}(t)}{\mathrm{ré}t}=-{\mathrm{??}}_1{N}^{\mathrm{R.}}(t)+{\mathrm{??}}_2{N}^{\mathrm{R.}}(t)N^{\mathrm{B.}}(t)=N^{\mathrm{R.}}(t)(-{\mathrm{??}}_1+{\mathrm{??}}_2{N}^{\mathrm{B.}}(t))\end{array}$$

$$\begin{array}{l}{N}^{\mathrm{B.}}(t)=\text{Nombre de proies actuellement}t\\ N^{\mathrm{R.}}(t)=\text{Nombre de prédateurs en ce moment}t\\ {\mathrm{??}}_1=\text{Constante (augmentation des proies due à la naissance)}\\ {\mathrm{??}}_2=\text{Constant (diminuer les proies)}\\ {\mathrm{??}}_1=\text{Constante (diminution des prédateurs due à la mort)}\\ {\mathrm{??}}_2=\text{Constant (augmentation des prédateurs)}\\ {\mathrm{??}}_2{N}^{\mathrm{R.}}(t)=\text{Diminution des proies par rencontre}\\ \text{avec 1 prédateur (la proie est mangée)}\\ {\mathrm{??}}_2{N}^{\mathrm{R.}}(t)=\text{Augmentation des prédateurs par rencontre}\\ \text{avec 1 proie (le prédateur a de la nourriture et se reproduit)}\end{array}$$

Ce système d'équations différentielles ne peut être résolu que numériquement.

Trajectoires de phase

En transformant le système d'équations différentielles, égalisant et intégration indéterminée, on obtient :

$$\begin{array}{l}\frac{1}{{\mathrm{??}}_1{N}^{\mathrm{B.}}(t)-{\mathrm{??}}_2{N}^{\mathrm{R.}}(t)N^{\mathrm{B.}}(t)}\frac{\mathrm{ré}{N}^{\mathrm{B.}}(t)}{\mathrm{ré}t}=\frac{1}{-{\mathrm{??}}_1{N}^{\mathrm{R.}}(t)+{\mathrm{??}}_2{N}^{\mathrm{R.}}(t)N^{\mathrm{B.}}(t)}\frac{\mathrm{ré}{N}^{\mathrm{R.}}(t)}{\mathrm{ré}t}=1\\ {\mathrm{??}}_2{\displaystyle \int \mathrm{ré}{N}^{\mathrm{B.}}}-{\mathrm{??}}_1{\displaystyle \int \frac{\mathrm{ré}{N}^{\mathrm{B.}}}{N^{\mathrm{B.}}}}-{\mathrm{??}}_1{\displaystyle \int \frac{\mathrm{ré}{N}^{\mathrm{R.}}}{N^{\mathrm{R.}}}}+{\mathrm{??}}_2{\displaystyle \int \mathrm{ré}{N}^{\mathrm{R.}}}=H\\ H={\mathrm{??}}_2{N}^{\mathrm{B.}}+{\mathrm{??}}_2{N}^{\mathrm{R.}}-{\mathrm{??}}_1\mathrm{dans}{N}^{\mathrm{B.}}-{\mathrm{??}}_1\mathrm{dans}{N}^{\mathrm{R.}}\end{array}$$

A l'équilibre, les nombres de proies et de prédateurs sont constants :

$$H=H_g={\mathrm{??}}_2{N}_g^{\mathrm{B.}}+{\mathrm{??}}_2{N}_g^{\mathrm{R.}}-{\mathrm{??}}_1\mathrm{dans}{N}_g^{\mathrm{B.}}-{\mathrm{??}}_1\mathrm{dans}{N}_g^{\mathrm{R.}}$$

A l'équilibre, le nombre d'animaux ne change plus :

$$\begin{array}{l}\frac{\mathrm{ré}{N}^{\mathrm{B.}}(t)}{\mathrm{ré}t}==N^{\mathrm{B.}}(t)({\mathrm{??}}_1-{\mathrm{??}}_2{N}^{\mathrm{R.}}(t))=0\\ \Rightarrow N^{\mathrm{R.}}(t)=N_g^{\mathrm{R.}}=\frac{{\mathrm{??}}_1}{{\mathrm{??}}_2}\\ \frac{\mathrm{ré}{N}^{\mathrm{R.}}(t)}{\mathrm{ré}t}=N^{\mathrm{R.}}(t)(-{\mathrm{??}}_1+{\mathrm{??}}_2{N}^{\mathrm{B.}}(t))=0\\ \Rightarrow N^{\mathrm{B.}}(t)=N_g^{\mathrm{B.}}=\frac{{\mathrm{??}}_1}{{\mathrm{??}}_2}\end{array}$$

La constante d'intégration $H$ pour l'équilibre est alors :

$$H=H_g={\mathrm{??}}_1(1-\mathrm{dans}\frac{{\mathrm{??}}_1}{{\mathrm{??}}_2})+{\mathrm{??}}_1(1-\mathrm{dans}\frac{{\mathrm{??}}_1}{{\mathrm{??}}_2})$$

Selon les valeurs initiales, des conditions stables ou instables sont maintenant obtenues. Instable signifie, par exemple, que les proies ou les animaux prédateurs disparaissent. Stable signifie, par exemple, que le nombre d'animaux prédateurs et de proies passe par des maxima et des minima, ils oscillent. Dans les diagrammes de phases, cela est représenté par des trajectoires de phases autour du point d'équilibre.

Dans le diagramme nombre/temps, ces oscillations sont représentées par des courbes mutuellement décalées.

Vidéo: Introduction à la cinétique (Mai 2022).