Chimie

Racines complexes d'un polynôme

Racines complexes d'un polynôme


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Théorème fondamental de l'algèbre

Une équation algébrique m -ième degré à coefficients réels de la forme

unemXm+unem-1Xm-1++une1X+une0=0uneje??(unem0)

a au plus mde vraies solutions.

Exemple

Le polynôme quadratique (degré 2) X2-1=0 a deux vraies racines X=1 et X=-1, tandis que X2+1=0 n'a pas de vraies solutions.

Si des solutions complexes sont également autorisées, alors exactementm Solutions, par ex. X2+1=0 a deux solutions complexes X=je et X=-je.

théorème
Toute équation algébrique m -ième degré à coefficients réels ou complexes de la forme
unemXm+unem-1Xm-1++une1X+une0=0uneje??(unem0).
possède toujours m Solutions en ??.

D'où tout polynôme m -ème degré

F(X)=unemXm+unem-1Xm-1++une1X+une0

en un produit d'exactement m Les facteurs sont décomposés

F(X)=(X-z1)(X-z2)(X-zm),

par lequel z1,z2,,zm les racines complexes de l'équation F(X)=0 sommes.

Dans certains cas, les racines ne seront pas toutes différentes, par exemple la racineX=3 le polynôme quadratique X2-6X+9=(X-3)(X-3)=0 a la multiplicité 2.

Résoudre l'équation algébrique générale m -ème degré

La solution de l'équation quadratique

F(X)=une2X2+une1X+une0=0

est obtenu à l'aide des coefficients une0,une1,une2 par une suite d'opérations (addition, soustraction, multiplication, division et extraction d'une racine carrée) comme suit :

X1=une1+une12-4une2une02une2etX2=-une1-une12-4une2une02une2.

Avec la résolution beaucoup plus compliquée des équations algébriques 3 - et 4 -ième degré l'extraction des racines cubiques et des racines quatrièmes est ajoutée.On dit que les équations algébriques 2 -, 3 - et 4 -e degré peut être résolu par des opérations rationnelles et des radicaux.

Exemple

Le polynôme cubique (degré 3) à coefficients réels

une3X3+une2X2+une1X+une0=0

a soit trois racines réelles, soit une racine réelle et deux racines conjuguées complexes. L'équation cubique a été utilisée par Tartaglia, Cardanus et d'autres au 16ème siècle. Siècle résolu (voir lien). L'équation d'état de Van der Waals est un exemple d'équation cubique en volumeV.

théorème
Toute équation algébrique de degré impair (m=1,3,) à coefficients réels a une racine réelle.

Équations algébriques 5 -e et les degrés supérieurs ne peuvent pas être résolus par des opérations rationnelles et des radicaux.



Commentaires:

  1. Eldrian

    Magnifique phrase et à l'heure

  2. Eman

    Malheureusement, je ne peux rien aider, mais il est assuré que vous trouverez la bonne décision. Ne désespérez pas.

  3. Erhardt

    Je vous suggère de visiter un site qui a de nombreux articles sur le sujet qui vous intéresse.

  4. Dene

    Ce n'est pas vrai.

  5. Mezikree

    Réponse faisant autorité, cognitif ...



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