Nombres naturels

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En comptant des choses, nous rencontrons des nombres naturels $1, 2, 3, \dots$ . Ainsi est le symbole $m$ une abstraction de toutes les totalités qui $m$ Contenir des choses. Les mêmes choses peuvent être quantifiées par des nombres naturels.Les propriétés des nombres négatifs, par ex. $-2$ , Fractions, par ex. $3 / 4$ ou des nombres irrationnels, par ex. $??$ peut être attribuée aux propriétés des nombres naturels. Par conséquent, les nombres naturels sont le fondement des mathématiques.

Respectivement le zéro $0$ c'est une question de définition si elle est considérée comme un nombre naturel. Les notations suivantes pour l'ensemble des nombres naturels (avec ou sans zéro) sont courantes.

\begin{array}{rcl} ?? & = & {1, 2, 3, \dots} \\ {??}_{0} & = & {0, 1, 2, 3, \dots} \end{array}

Ou bien

\begin{array}{rcl} ?? & = & {0, 1, 2, 3, \dots} \\ ?? ∖ {0} & = & {1, 2, 3, \dots} \end{array}

Les symboles utilisés pour les nombres naturels peuvent en principe être choisis librement, c'est pourquoi les représentations suivantes de $??$ aussi permis

\begin{array}{rcll} ?? & = & {0, JE., II, III, IV, \dots} & système romain \\ ?? & = & {0, 1, 10, 11, \dots} & système binaire . \end{array}

Les nombres naturels sont caractérisés par le fait que tout nombre $m \in ??$ a un successeur unique, c'est-à-dire $1$ suit $0$ , $2$ suit $1$ , etc. Les nombres rationnels, par exemple, n'ont pas cette propriété.

Règles de calcul

La théorie mathématique des nombres naturels est appelée arithmétique. L'addition et la multiplication des nombres naturels sont soumises à certaines lois.

Être $m, m, p \in ??$ . Alors l'addition est vraie pour les opérations algébriques $+$ et multiplie $\cdot$ règles suivantes.

Tab.1: Règles de calcul des nombres naturels

Isolement	$m + m \in ??, m \cdot m \in ??$
Commutativité de l'addition	$m + m = m + m$
Associativité de l'addition	$(m + m) + p = m + (m + p)$
Élément zéro	$m + 0 = m, m \cdot 0 = 0$
Commutativité de la multiplication	$m \cdot m = m \cdot m$
Associativité de la multiplication	$(m \cdot m) \cdot p = m \cdot (m \cdot p)$
Un élément	$m \cdot 1 = m$
Loi distributive	$m \cdot (m + p) = (m \cdot m) + (m \cdot p)$

Notez que dans ces règles les opérations algébriques soustraction $-$ et division $/$ ne sont pas inclus. Leur définition conduit aux nombres entiers ou rationnels.

Ordre linéaire

En additionnant deux nombres naturels, les termes « inférieur à » (symbole $<$ ) et « supérieur à » (symbole $>$ ) définir. Être $m, m \in ??$ . La déclaration $m < m$ (ou $m > m$ ) signifie qu'il y en a un $p \in ??$ avec $m + p = m$ par exemple.

5 > 3 là 3 + p = 5 avec p = 2 .

Dans le cas $p \in {??}_{0}$ est l'égalité $m = m$ pas exclu. La déclaration $m < m$ ou $m = m$ peut être brièvement selon $m \leq m$ (ou $m \geq m$ ) formuler.

Dans le langage de la théorie des ensembles, on désigne $\leq$ (ou $\geq$ ) comme une relation sur l'ensemble des nombres naturels. On l'appelle ordre linéaire car il possède les propriétés suivantes.

Tab.2: Ordre linéaire

Réflexivité	$m \leq m \forall m \in ??$
Transitivité	$m \leq m$ et $m \leq p \Rightarrow m \leq p$
identité	$m \leq m$ et $m \leq m \Rightarrow m = m$

Ce qui suit s'applique au zéro $0 \leq m \forall m \in ??$ c'est à dire. $0$ est le plus petit élément.

0 < 1 < 2 < \dots < m + 1 < m < \dots .

théorème: Tout sous-ensemble non vide de $??$ a un plus petit élément.

La validité de cette proposition est évidente. Mais cela ne s'applique pas aux nombres entiers, par exemple, parce que la quantité $?? = {0, \pm 1, \pm 2, \dots}$ n'a pas le moindre élément.

Vidéo: Les nombres naturels (Juillet 2022).

Commentaires:

Durn
2022-04-13, 05:16:21

Zenkuyu barzo ! Super site :)
Vudoramar
2022-04-16, 02:14:49

A mon avis tu te trompes. Je peux le prouver. Écrivez-moi en MP, on s'en occupe.
Aswad
2022-05-13, 10:52:45

Quelle excellente phrase
Bayley
2022-06-06, 21:56:54

Je pense qu'il a tort. Je suis sûr. Je suis capable de le prouver. Écrivez-moi dans PM, cela vous parle.
Didal
2022-06-26, 01:33:45

Oui, c'est aussi ...