Produit vectoriel de vecteurs

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Produit vectoriel ou externe

Les nombres peuvent être additionnés et multipliés. Pour les vecteurs, qui sont en fait représentés par des flèches, il existe une règle de parallélogramme claire pour l'addition.Mais qu'en est-il de la multiplication de deux vecteurs ? Y a-t-il une raison raisonnable à cela ? Et si oui, comment multipliez-vous les flèches ? La réponse est oui et bien sûr elle est liée à des définitions mathématiques ! Il y en a même trois, à savoir le calar, le vecteur et le produit dyadique. Ce chapitre est consacré à la deuxième réponse, appelée en abrégé le produit vectoriel. La première réponse est un autre chapitre sur le sujet des vecteurs (produit scalaire). Le produit dyadique est traité dans le calcul matriciel.

Pour une introduction illustrative, considérons un électron se déplaçant dans un champ magnétique homogène. Le champ magnétique est créé par un vecteur $B.$ , la densité de flux magnétique (voir les manuels de physique, par exemple ceux donnés dans la bibliographie). Soit la vitesse de l'électron - également un vecteur - $v$ . La charge de l'électron est connue pour être la quantité scalaire $- e$ , par lequel $e$ désigne la charge élémentaire. Une force agit sur l'électron dans les circonstances décrites $F.$ , la force dite de Lorentz. Il est déterminé par le champ magnétique, la vitesse et la charge de l'électron comme suit : $F.$ se dresse verticalement $B.$ et $- e v$ , de telle sorte que les vecteurs $- e v$ , $B.$ , $F.$ former un système juridique dans cet ordre (voir exigence « Bases et systèmes de coordonnées pour droitiers et gauchers » ); La quantité de $F.$ est donné par

| F. | = | - e v | | B. | péché ??,

par lequel $??$ le plus petit angle entre $- e$ $v$ et $B.$ désigné. Ceci est illustré dans la figure suivante :

Comme il arrive plus souvent qu'un vecteur soit calculé à partir de deux autres, comme $F.$ la fin $- e v$ et $B.$ , est généralement défini comme : $vous$ et $v$ deux vecteurs quelconques dans l'espace tridimensionnel. Le produit vectoriel $vous \times v$ , produit extérieur ou produit croisé (lire : u croix v) représente alors un vecteur qui a les propriétés suivantes :

$vous \times v$ est perpendiculaire au von $vous$ et $v$ plan enjambé
$vous$ , $v$ , $vous \times v$ former un système droitier dans cet ordre
Pour son montant s'applique $| vous \times v | = | vous | | v | péché ??$ $??$ est le plus petit angle entre $vous$ et $v$ .

Attention: Le produit vectoriel est une particularité de l'espace tridimensionnel. Il ne peut pas être transféré à des dimensions inférieures ou supérieures.

Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, nous pouvons écrire :

F. = (- e v) \times B. .

Interprétation géométrique du montant du produit croisé

Il y a une interprétation claire du montant du produit croisé.Considérez le dessin suivant :

Ceci est représenté par les vecteurs $vous$ et $v$ et leurs doubles décalés parallélogramme limité. On l'appelle aussi celui de $vous$ et $v$ parallélogramme enjambé. Comme on le sait, son aire est le produit de la ligne de base et de la hauteur, c'est-à-dire $| vous | H$ . La hauteur $H$ mais résulte de $H = | v | péché ??$ . En conséquence, la zone est la même $= | vous | | v | péché ??$ . Le côté droit n'est apparemment rien de plus que $| vous \times v |$ .

Quantité du produit vectoriel: La quantité de $vous \times v$ est égal à l'aire du de $vous$ et $v$ parallélogramme enjambé.

Vecteurs axiaux et polaires

Effectuons une transformation de coordonnées dans laquelle les directions des axes de coordonnées sont inversées, c'est-à-dire

X \to - X, oui \to - oui, z \to - z,

mais un vecteur de position $r$ reste fixe dans l'espace (transformation passive), le vecteur prend les coordonnées

r' = (\begin{array}{rcl} X' \\ oui' \\ z' \end{array}) = (\begin{array}{rcl} - X \\ - oui \\ - z \end{array}) = - r

par rapport au système de coordonnées inverses. Un vecteur de position ainsi que d'autres vecteurs dont les signes changent lorsque le système de coordonnées est inversé sont appelés vecteurs polaires.

Le moment angulaire

L. = r \times p

est le produit croisé de deux vecteurs polaires. En inversant le système de coordonnées, le vecteur moment angulaire par rapport au nouveau système de coordonnées est donné par

L.' = r' \times p' = - r \times - p = r \times p = L.,

c'est-à-dire que le signe n'est pas modifié. Les vecteurs possédant cette propriété sont appelés vecteurs axiaux.

Exemple

Définition : produit croisé

Cette Produit croisé (Produit vectoriel) est le lien entre deux vecteurs et ayant un vecteur normal qui est perpendiculaire au plan parcouru par les deux vecteurs.

Le travers X formé vecteur normal formé a droit aux deux ainsi que trop Ordinaire. La longueur du vecteur normal généré correspond exactement à l'aire du parallélogramme, celle de et plan enjambé.
Le triple vecteur ordonné , et X forme un système juridique.

Source Wikipédia

Calculer le produit croisé

Il existe une méthode qui Produit croisé deux vecteurs et calculer sans avoir à mémoriser la formule. Vous procédez comme suit :

Écrivez le produit vectoriel des deux vecteurs et réécrivez les deux premières lignes sous les vecteurs.

Maintenant, vous déterminez progressivement les composants individuels du produit vectoriel. Pour le premier composant, vous créez le produit et éloigner une façon.