Méthodes de résolution des équations différentielles ordinaires

Méthodes de résolution

Il n'y a pas de méthode généralement acceptée pour résoudre une équation différentielle ordinaire. Des procédures de résolution analytique sont disponibles pour certains types d'équations :

• Solution analytique des équations différentielles ordinaires du premier ordre
• Solution analytique des équations différentielles ordinaires du second ordre

Avec les autres, il faut trouver une solution en essayant et en devinant. Avec certains types d'équations, la forme des solutions peut être dérivée géométriquement sans résoudre explicitement l'équation. De nombreuses équations rencontrées en pratique n'ont pas de solution fermée exacte et doivent être résolues numériquement ou approximativement.

Avant d'essayer de résoudre une équation différentielle, il faut déterminer si une solution existe réellement et si la solution est unique.

Exemple

Considérons le problème de la valeur initiale

$$\mathit{X}\frac{\text{ré}\mathit{oui}}{\text{ré}\mathit{X}}+\mathit{oui}=0\text{avec}\mathit{oui}(0)=1.$$

On voit facilement que c'est la solution générale

$$\mathit{oui}(\mathit{X})=\frac{\mathit{C.}}{\mathit{X}}$$

la condition initiale $\mathit{oui}(0)=1$ jamais assez, puisque les courbes de solution approchent l'infini si $\mathit{X}\to 0$.

Une fois l'existence d'une solution établie, la question se pose de savoir si cette solution est unique. On s'attend à une solution unique à un problème physique, mais le modèle mathématique du problème est une approximation et l'équation différentielle qui en résulte n'est pas toujours supposée avoir une solution unique.

Exemple

Le problème de la valeur initiale

$$\frac{\text{ré}\mathit{oui}}{\text{ré}\mathit{X}}={\mathit{oui}}^{1/2}\text{avec}\mathit{oui}(0)=0$$

a deux solutions différentes

$$\mathit{oui}(\mathit{X})=0\text{et}\mathit{oui}(\mathit{X})={\mathit{X}}^2/4.$$

La raison en est que la fonction ${\mathit{oui}}^{1/2}$ et leur dérivation au point $\mathit{oui}=0$ ne sont pas continues (théorème de Picard-Lindelöf).

Le théorème de Picard-Lindelöf fait des déclarations générales sur l'existence et l'unicité des solutions.

Vidéo: Separoituvat differentiaaliyhtälöt (Juin 2022).