Équations différentielles ordinaires du premier ordre homogènes et exactes

We are searching data for your request:

Forums and discussions:

Manuals and reference books:

Data from registers:

Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Équations différentielles exactes

Une équation différentielle ordinaire exacte du premier ordre est de la forme

UNE. (X, oui) ré X + B. (X, oui) ré oui = 0 avec \frac{\partial UNE.}{\partial oui} = \frac{\partial B.}{\partial X}

représentable. Il existe donc une fonction $F. (X, oui)$ dont le différentiel total est l'équation différentielle

ré F. = \frac{\partial F.}{\partial X} ré X + \frac{\partial F.}{\partial oui} ré oui = UNE. (X, oui) ré X + B. (X, oui) ré oui = 0

résultats. L'intégrabilité de $F. (X, oui)$ découle de sa continuité :

\frac{\partial^{2} F.}{\partial X \partial oui} = \frac{\partial^{2} F.}{\partial oui \partial X} \Rightarrow \frac{\partial UNE.}{\partial oui} = \frac{\partial B.}{\partial X} .

La solution générale est donc :

F. (X, oui) = C. .

Exemple

Si l'équation différentielle

UNE. (X, oui) ré X + B. (X, oui) ré oui = 0

n'est pas exact, vous pouvez parfois utiliser une fonction $vous (X, oui)$ recherche par laquelle l'équation différentielle doit être multipliée pour obtenir une équation exacte, c'est-à-dire :

vous (X, oui) UNE. (X, oui) ré X + vous (X, oui) B. (X, oui) ré oui = 0

est exactement pour une fonction inconnue $vous (X, oui)$ . Une telle fonction est appelée $vous (X, oui)$ comme facteur d'intégration. Il doit remplir les conditions suivantes :

\frac{\partial (vous UNE.)}{\partial oui} = \frac{\partial (vous B.)}{\partial X} \Rightarrow vous \frac{\partial UNE.}{\partial oui} + UNE. \frac{\partial vous}{\partial oui} = vous \frac{\partial B.}{\partial X} + B. \frac{\partial vous}{\partial X} .

Exemple

Par exemple, l'équation différentielle

oui' - \frac{oui}{X} = {oui}^{-1 / 2}

comme une équation différentielle de Bernoulli avec $p = 1$ , $q = -1 / X$ , $r = 1$ et $?? = -1 / 2$ identifié. Sous forme différentielle, on lit :

({oui}^{-1 / 2} + \frac{oui}{X}) ré X - ré oui = 0.

Multiplier par un facteur d'intégration

vous (X, oui) = {oui}^{1 / 2} exp [- \frac{3}{2} \int \frac{1}{X} ré X] = {oui}^{1 / 2} X^{-3 / 2},

cela donne une équation différentielle exacte

(X^{-3 / 2} + X^{-5 / 2} {oui}^{3 / 2}) ré X - {oui}^{1 / 2} X^{-3 / 2} ré oui = 0 = \frac{\partial F.}{\partial X} ré X + \frac{\partial F.}{\partial oui} ré oui

avec la solution générale

F. (X, oui) = C. .

La fonction que vous recherchez $F. (X, oui)$ remplit les conditions suivantes :

\begin{array}{rclcl} \frac{\partial F.}{\partial X} & = & X^{-3 / 2} + X^{-5 / 2} {oui}^{3 / 2} & \Rightarrow & F. (X, oui) = -2 X^{-1 / 2} - \frac{2}{3} X^{-3 / 2} {oui}^{3 / 2} + g (oui) \\ \frac{\partial F.}{\partial oui} & = & - {oui}^{1 / 2} X^{-3 / 2} & \Rightarrow & F. (X, oui) = - \frac{2}{3} X^{-3 / 2} {oui}^{3 / 2} + H (X) . \end{array}

De là on prend : $g (oui) = 0$ et $H (X) = -2 X^{-1 / 2}$ . Alors la solution générale de sous forme implicite est :

-2 X^{-1 / 2} - \frac{2}{3} X^{-3 / 2} {oui}^{3 / 2} = C. .

Commentaires:

Val
2022-04-21, 16:43:57

Et qu'ici le dit?
Odran
2022-04-27, 08:49:17

Je pense que vous n'avez pas raison. Je suis assuré. Je peux défendre la position. Écrivez-moi dans PM, nous parlerons.
Zulkim
2022-05-12, 23:48:50

Je pense que c'est un sujet très intéressant. Je vous propose d'en discuter ici ou en MP.
Daimh
2022-05-28, 09:53:27

J'ai aimé ton site
Beacan
2022-06-06, 08:53:12

justement tu as raison
Erhard
2022-06-21, 11:51:31

J'espère que tu trouveras la bonne solution. Ne désespérez pas.