Chimie

Équations différentielles ordinaires du premier ordre homogènes et exactes

Équations différentielles ordinaires du premier ordre homogènes et exactes


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Équations différentielles exactes

Une équation différentielle ordinaire exacte du premier ordre est de la forme

UNE.(X,oui)X+B.(X,oui)oui=0avecUNE.oui=B.X

représentable. Il existe donc une fonction F.(X,oui)dont le différentiel total est l'équation différentielle

F.=F.XX+F.ouioui=UNE.(X,oui)X+B.(X,oui)oui=0

résultats. L'intégrabilité de F.(X,oui) découle de sa continuité :

2F.Xoui=2F.ouiXUNE.oui=B.X.

La solution générale est donc :

F.(X,oui)=C..
Exemple
(oui+eX)X+Xoui=0

Cette équation différentielle n'est ni séparable ni homogène, mais elle est exacte, il

ouioui+eX=1=XX.

La fonction que vous recherchez F.(X,oui) remplit les conditions suivantes :

F.X=oui+eXF.(X,oui)=Xoui+eX+g(oui)F.oui=XF.(X,oui)=Xoui+H(X).

De là on tire : g(oui)=0 et H(X)=eX. La solution générale est alors

F.(X,oui)=Xoui+eX=C.oui(X)=C.-eXX.

Si l'équation différentielle

UNE.(X,oui)X+B.(X,oui)oui=0

n'est pas exact, vous pouvez parfois utiliser une fonction vous(X,oui) recherche par laquelle l'équation différentielle doit être multipliée pour obtenir une équation exacte, c'est-à-dire :

vous(X,oui)UNE.(X,oui)X+vous(X,oui)B.(X,oui)oui=0

est exactement pour une fonction inconnue vous(X,oui). Une telle fonction est appelée vous(X,oui) comme facteur d'intégration. Il doit remplir les conditions suivantes :

(vousUNE.)oui=(vousB.)XvousUNE.oui+UNE.vousoui=vousB.X+B.vousX.
Exemple
p(X)oui'+q(X)oui=r(X)oui??

En raison de ??-ième puissance à droite de, l'équation différentielle n'est pas linéaire pour ??1. Cependant, il peut être résolu en utilisant un facteur d'intégration. Sous forme différentielle, on lit :

(q(X)oui-r(X)oui??)X+p(X)oui=0.

Il devient un facteur d'intégration vous(X,oui) recherché pour que

vous(q(X)oui-r(X)oui??)X+vousp(X)oui=0

une équation différentielle exacte avec

(vousp)X=(vousqoui-vousroui??)oui

résultats. Comme approche, nous adoptons

vous(X,oui)=F(X)ouib,

par lequel F(X) et b sont à déterminer. et se rendre

(Fpouib)X=(Fqouib+1-Froui??+b)ouiF'pouib+Fp'ouib=(b+1)Fqouib-(??+b)Froui??+b-1.

Si vous définissez b=-?? un, donc les résultats

F'poui-??+Fp'oui-??=Fq(1-??)oui-??.

Si vous divisez par Fpoui-??, on obtient une équation différentielle séparable en F

F'F=-p'p+(1-??)qp.

Si vous intégrez après X, il en résulte:

dansF=-dansp+(1-??)qpX

ou

F(X)=1p(X)exp(1-??)q(X)p(X)X.

Et ainsi est le facteur d'intégration

vous(X,oui)=oui-??p(X)exp(1-??)q(X)p(X)X.

Par exemple, l'équation différentielle

oui'-ouiX=oui-1/2

comme une équation différentielle de Bernoulli avec p=1, q=-1/X, r=1 et ??=-1/2 identifié. Sous forme différentielle, on lit :

oui-1/2+ouiXX-oui=0.

Multiplier par un facteur d'intégration

vous(X,oui)=oui1/2exp-321XX=oui1/2X-3/2,

cela donne une équation différentielle exacte

(X-3/2+X-5/2oui3/2)X-oui1/2X-3/2oui=0=F.XX+F.ouioui

avec la solution générale

F.(X,oui)=C..

La fonction que vous recherchez F.(X,oui) remplit les conditions suivantes :

F.X=X-3/2+X-5/2oui3/2F.(X,oui)=-2X-1/2-23X-3/2oui3/2+g(oui)F.oui=-oui1/2X-3/2F.(X,oui)=-23X-3/2oui3/2+H(X).

De là on prend : g(oui)=0 et H(X)=-2X-1/2. Alors la solution générale de sous forme implicite est :

-2X-1/2-23X-3/2oui3/2=C..



Commentaires:

  1. Val

    Et qu'ici le dit?

  2. Odran

    Je pense que vous n'avez pas raison. Je suis assuré. Je peux défendre la position. Écrivez-moi dans PM, nous parlerons.

  3. Zulkim

    Je pense que c'est un sujet très intéressant. Je vous propose d'en discuter ici ou en MP.

  4. Daimh

    J'ai aimé ton site

  5. Beacan

    justement tu as raison

  6. Erhard

    J'espère que tu trouveras la bonne solution. Ne désespérez pas.



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