Chimie

Introduction aux équations différentielles ordinaires linéaires du second ordre

Introduction aux équations différentielles ordinaires linéaires du second ordre


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Équations différentielles linéaires du second ordre : aperçu

Une équation différentielle du second ordre inhomogène linéaire ordinaire a la forme

oui''+p1(X)oui'+p0(X)oui=q(X).

Il y a deux conditions initiales impliquées dans la détermination d'une solution :

oui(X0)=b0etoui'(X0)=b1.

Sans connaissance des exigences pour les fonctions p1(X), p0(X) et q(X) (1) est généralement difficile à résoudre. De nombreuses équations différentielles qui se produisent en physique et en chimie ne peuvent être résolues que par une approche de séries entières, à partir de laquelle de nouvelles fonctions émergent ; par exemple a l'équation différentielle de Legendre

oui''-2X1-X2oui'+je(je+1)1-X2oui=0

les polynômes dits de Legendre comme fonctions solutions.

Une classe importante d'équations différentielles du second ordre a des coefficients constants, c'est-à-dire les fonctions p1(X) et p0(X) en sont constants :

oui''+une1oui'+une0oui=q(X).

De telles équations décrivent, par exemple, des vibrations libres lorsque l'élément de perturbation q(X) est égal à zéro, et des oscillations forcées lorsque l'élément de perturbation est non nul.

Dans certains cas, des conditions aux limites sont données à la place des conditions initiales :

oui(X1)=b1etoui(X2)=b2.

L'équation ne peut être résolue que pour certaines valeurs (appelées valeurs propres d'une certaine constante).


Histoire

La tâche du calcul différentiel était aussi Problème de tangente connu depuis l'Antiquité. Une solution évidente était de diviser la tangente à une courbe par sa sécante sur un fini (enfin signifie ici : supérieur à zéro), mais pour se rapprocher de tout petit intervalle. La difficulté technique a dû être surmontée avec l'un de ces infinitésimal petite largeur d'intervalle à prévoir. Pierre de Fermat y parvint vers 1640 pour le problème de la tangente aux polynômes. Il a déjà formulé une dérivation, mais sans considérer les valeurs limites et sans écrire une raison mathématique pour son approche. Parallèlement, René Descartes choisit une approche algébrique en créant un cercle sur une courbe. Cela coupe la courbe en deux points proches l'un de l'autre, à moins qu'il ne touche la courbe. Cette approche lui a permis de déterminer la pente de la tangente pour des courbes particulières.

À la fin du XVIIe siècle, Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz ont réussi indépendamment l'un de l'autre à développer des calculs qui fonctionnaient sans contradictions (pour l'histoire de la découverte et la dispute sur la priorité, voir l'article sur le calcul). Cependant, Newton a abordé le problème sous un angle différent de celui de Leibniz. Alors que Newton abordait le problème physiquement en utilisant le problème de la vitesse instantanée, Leibniz l'a essayé géométriquement en utilisant le problème de la tangente. Son travail a permis l'abstraction d'idées purement géométriques et est donc considéré comme le début de l'analyse. Ils sont surtout connus à travers le livre du noble Guillaume François Antoine, marquis de L'Hospital, qui a pris des cours particuliers de Johann Bernoulli et a publié ses recherches sur l'analyse. Les règles de dérivation connues aujourd'hui sont principalement basées sur les travaux de Leonhard Euler, qui a inventé le terme fonction. Newton et Leibniz ont travaillé avec des nombres arbitrairement petits, mais supérieurs à zéro. Cela a déjà été critiqué comme illogique par les contemporains, par exemple par l'évêque Berkeley dans l'ouvrage polémique L'analyste : ou un discours adressé à un mathématicien infidèle. Malgré l'incertitude qui prévaut, le calcul différentiel a été constamment développé, principalement en raison de ses nombreuses applications en physique et dans d'autres domaines des mathématiques. Le concours publié par l'Académie des sciences de Prusse en 1784 était symptomatique de l'époque :

« … La géométrie supérieure utilise souvent des tailles infiniment grandes et infiniment petites, mais les anciens érudits évitaient soigneusement l'infini, et certains analystes célèbres de notre époque admettent que les mots taille infinie sont contradictoires. L'académie exige donc que vous expliquiez comment tant de phrases correctes sont nées d'une hypothèse contradictoire, et que vous donniez un terme de base sûr et clair qui pourrait remplacer l'infini sans rendre le calcul trop difficile ou trop long... "

Ce n'est qu'au début du XIXe siècle qu'Augustin Louis Cauchy réussit à donner au calcul différentiel la rigueur logique qui lui est coutumière aujourd'hui en s'écartant des quantités infinitésimales et en définissant la dérivation comme la valeur limite des pentes sécantes ("quotients différentiels"). La définition de la valeur limite utilisée aujourd'hui a finalement été formulée par Karl Weierstrass à la fin du XIXe siècle.


Résoudre des équations différentielles

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Un cours complet en Équations différentielles comprend principalement des applications de dérivations, qui ne sont normalement traitées qu'après quelques cours semestriels en analyse. les Dérivation est le Taux de changement une variable par rapport à une autre, par exemple la vitesse à laquelle la vitesse d'un objet change dans le temps (comparable à la pente). De tels taux de changement peuvent être trouvés partout dans la vie quotidienne. Par exemple le dit Règle de l'intérêt composéque le taux d'accumulation des intérêts est proportionnel au capital social donné par les équations dV (t) / dt = rV (t) et V (0) = P, où P est le capital social initial, V (t), a fonction dans le temps, le capital à l'instant t (qui est un intérêt payé en continu) et r est le taux d'intérêt (dt est un intervalle de temps arbitrairement petit, dV (t) est une variation infiniment petite de V (t) dans ce temps et son quotient est le taux d'accumulation). Bien que les intérêts des cartes de crédit soient généralement dus quotidiennement et soient décrits par le taux annuel en pourcentage, cette équation différentielle a pour solution continue V (t) = Per rt. Cet article vous montre comment résoudre certains types courants d'équations différentielles, en particulier en mécanique et en physique.

  • Dérivée première - la dérivée d'une fonction, par exemple : "La vitesse est la dérivée première de la distance en fonction du temps".
  • Dérivée seconde - la dérivée de la dérivée d'une fonction, par exemple : La "L'accélération est la dérivée seconde de la distance en termes de temps"

Il s'agit d'une vidéo d'introduction plus longue et plus détaillée sur les équations différentielles.

Une équation différentielle du premier ordre de degré un peut être écrite comme M dx + N dy = 0, où M et N sont des fonctions de x et y. Pour résoudre ces équations différentielles, procédez comme suit :

  • Supprimer les pauses. Si l'équation différentielle contient des dérivées, multipliez l'équation entière par la différentielle de la variable indépendante.
  • Combinez tous les termes avec le même différentiel.
  • Intégrez chaque partie individuellement.

Simplifiez l'expression, par exemple, en résumant des termes, en convertissant des logarithmes en exposants et en utilisant le symbole le plus simple pour n'importe quelle constante.

  • Soit y = vx tel que dy / dx = x (dv / dx) + v.
  • Puisque M dx + N dy = 0, il s'ensuit que dy / dx = -M / N = f (v), puisque y est fonction de v.
  • Il s'ensuit que f (v) = dy / dx = x (dv / dx) + v. Les variables x et v peuvent être séparées : dx / x = dv / (f (v) -v)).
  • Résolvez la nouvelle équation différentielle avec des variables séparables, puis utilisez à nouveau la substitution y = vx pour obtenir y.

  • Soit y = uv, où u et v sont des fonctions de x.
  • En le dérivant, on obtient dy / dx = u (dv / dx) + v (du / dx).
  • Nous branchons ceci dans dy / dx + Py = Q et obtenons u (dv / dx) + v (du / dx) + Puv = Q, ou u (dv / dx) + (du / dx + Pu) v = Q .
  • Déterminer u en intégrant du / dx + Pu = 0. Les variables sont ici séparables. Ensuite, utilisez le u calculé pour trouver v en résolvant u (dv / dx) = Q. Les variables sont à nouveau séparables ici.

Enfin, utilisez la substitution y = uv pour trouver y.

  • Soit u = y 1-n. Donc du / dx = (1-n) y -n (dy / dx).
  • Donc y = u 1 / (1-n) et dy / dx = (du / dx) y n / (1-n) et y n = u n / (1-n).
  • Branchez le tout dans l'équation de Bernoulli et multipliez le tout par (1-n) / u 1 / (1-n) pour obtenir


Équation différentielle linéaire et non linéaire

Les équations différentielles peuvent toujours être divisées en équations différentielles linéaires et non linéaires.

Des équations différentielles non linéaires existent lorsque les dérivées (ou la fonction) dans l'équation différentielle

  • se produit dans une puissance, par exemple (y ′ ′) ²
  • La fonction ou la dérivée et la dérivée sont multipliées entre elles : y ′ · y ′ ′
  • les fonctions non linéaires apparaissent dans l'équation différentielle, par exemple la fonction sinus

L'équation différentielle linéaire ordinaire

Comme déjà décrit ci-dessus, l'équation différentielle ordinaire ne dépend que d'une variable (généralement y & # 8217 = f (x)). Une & # 8220 équation différentielle linéaire & # 8221 signifie que la fonction que vous recherchez et ses dérivées n'apparaissent qu'à la première puissance et, de plus, aucun produit de la fonction que vous recherchez et ses dérivées ne peuvent apparaître.
Exemple : y´ (x) + 2 y (x) = 0 (fonction linéaire ordinaire) :

  • généralement parce que le DGL ne dépend que de la variable & # 8220x & # 8221
  • linéaire, puisque la dérivée y´ (x) apparaît une fois et la fonction y (x) apparaît deux fois dans l'équation. Général : y´ (x) = a y (x)

Cette équation peut également être appelée une équation différentielle linéaire homogène et ordinaire, car, à l'instar des équations linéaires homogènes, il existe une & # 8220 expression mathématique & # 8221 de la forme & # 8220a + b = 0 & # 8221 = & gt homogène .


Table des matières

Certains processus physiques peuvent être décrits en décrivant le changement d'une quantité par rapport à un individuel Variable considérée. Par exemple, le mouvement d'un point de masse dans l'espace est décrit par l'équation du mouvement, qui ne contient que des dérivées par rapport au temps (à savoir la vitesse et l'accélération). De telles équations sont appelées équations différentielles ordinaires.

De nombreux autres processus physiques ne peuvent être décrits que si l'on considère le changement d'une variable nombreuses variables indépendantes considérées. Si, par exemple, une goutte d'eau tombe sur une surface d'eau à intervalles réguliers, une onde sphérique est créée, semblable à l'image de droite. L'onde résultante dépend à la fois de la dérivée temporelle (vitesse de l'onde) et de la dérivée spatiale (profil de l'onde). Puisque les dérivées apparaissent en fonction de plusieurs variables, une équation aux dérivées partielles est nécessaire pour décrire le processus, l'équation des ondes.

Une équation aux dérivées partielles très simple est que équation de transport linéaire dans une dimension spatiale. elle a la forme

avec un paramètre réel constant c < displaystyle c>.

Alors pour des temps arbitraires t < displaystyle t> la solution de l'équation de transport linéaire est donnée par u (x, t) = g (x - ct) < displaystyle u (x, t) = g (x-ct)> . [1] Cette équation ne signifie rien d'autre que le fait que les données initiales g < displaystyle g> sont décalées ("transportées") sous forme inchangée avec la vitesse c < displaystyle c> dans le sens du x positif < displaystyle x> -axe (le long de la caractéristique de l'équation), voir image adjacente. Un exemple d'application serait le transport d'une substance dissoute dans l'eau avec l'écoulement de l'eau, par exemple le transport de polluants dans une rivière (où la diffusion de la substance est négligée).

D'autres exemples d'équations aux dérivées partielles sont

Pour quelles applications sont d'une grande importance

  • les équations d'Euler et de Navier-Stokes
  • les équations de Maxwell
  • l'équation de Schrödinger
  • les équations de la magnétohydrodynamique
  • l'équation des milieux poreux
  • l'équation de Korteweg-de-Vries.

Une équation aux dérivées partielles est une équation (ou un système d'équations) pour une ou plusieurs fonctions inconnues qui répond aux critères suivants :

  • la fonction inconnue dépend d'au moins deux variables (si elle ne dépend que d'une variable, on l'appelle une équation différentielle ordinaire, ou simplement une équation différentielle pour faire court)
  • Les dérivées partielles apparaissent dans l'équation pour au moins 2 variables
  • seules la fonction et ses dérivées partielles, chacune évaluée au même point, apparaissent dans l'équation.

Les équations dans lesquelles des intégrales se produisent en plus des dérivées partielles sont appelées équations intégro-différentielles.

Les équations aux dérivées partielles peuvent être classées selon divers critères. Le comportement en solution et donc le traitement théorique et numérique des équations ainsi classées diffèrent considérablement les uns des autres, selon le critère utilisé.

Modifier le nombre de prospects

Le degré de la dérivée la plus élevée qui se produit dans l'équation est appelé que ordre. Par exemple, seules les dérivées premières partielles apparaissent dans une équation du premier ordre. En général, les équations d'ordre supérieur sont plus difficiles à résoudre que les équations d'ordre inférieur. [2]

Modifier le nombre de variables

Avec de nombreuses équations aux dérivées partielles, le nombre de variables joue un rôle dans les possibilités d'investigation théorique et de résolution numérique. Dans le cas des équations de Navier-Stokes, par exemple, des énoncés détaillés sur l'existence, l'unicité et la régularité pourraient être prouvés dans deux dimensions spatiales, tandis que la question de l'existence et de l'unicité des solutions lisses dans le cas tridimensionnel est ouverte. Ce problème a été ajouté à la liste des problèmes du millénaire.

Modifier des équations linéaires et non linéaires

On parle d'un linéaire équation aux dérivées partielles si la fonction inconnue et toutes les dérivées se produisent linéairement. Cela signifie que le coefficient fonctionne avant la fonction inconnue u < displaystyle u> ou. leurs dérivées ne dépendent que des variables (et non de la fonction elle-même ou de ses dérivées). Une équation aux dérivées partielles linéaire du 2ème ordre à deux variables a donc la forme générale suivante :

On parle d'équation aux dérivées partielles non linéaire quasi-linéaire Équation si toutes les dérivées d'ordre le plus élevé se produisent linéairement. Un exemple est l'équation de surface minimale : [3]

ou bien écrit :

On parle d'un semi-linéaire équation aux dérivées partielles, si dans une équation aux dérivées partielles quasi linéaire les fonctions de coefficient avant la dérivée la plus élevée ne dépendent pas des dérivées inférieures et de la fonction inconnue. Un exemple est l'équation de Korteweg-de-Vries :

Un exemple d'équation aux dérivées partielles non linéaire qui n'est pas quasi-linéaire est l'équation de Monge-Ampère :

Les équations non linéaires décrivent généralement des phénomènes beaucoup plus complexes que les équations linéaires, comme les écoulements turbulents (par rapport aux écoulements laminaires). Les problèmes non linéaires sont plus difficiles à traiter que les problèmes linéaires tant du point de vue théorique que numérique. Un exemple simple d'une équation différentielle partielle non linéaire est l'équation de Burgers :

Parce que ses solutions sont parfaitement connues, il sert souvent de problème de modèle pour des équations non linéaires plus générales, telles que les équations d'Euler.

Modifier les types de base

Souvent, les équations aux dérivées partielles deviennent l'un des trois types de base elliptique, parabolique ou hyperbolique attribué. Cette classification n'est pas exhaustive, donc toutes les équations ne peuvent pas être attribuées à l'un de ces types. Cela a du sens, cependant, car de nombreuses équations qui se produisent dans la pratique entrent dans ce schéma et les trois types de base ont des propriétés fondamentalement différentes. La classification est d'abord décrite pour le cas important d'une seule équation du second ordre.

Modifier les équations du 2ème ordre

Modifier deux variables

Comme exemple de division en trois types de base d'équations différentielles elliptiques, paraboliques et hyperboliques, nous considérons l'équation différentielle partielle linéaire générale du 2ème ordre avec deux variables

Avec la définition ci-dessus, nous obtenons l'ellipticité de l'équation de Poisson, la parabolicité de l'équation de conduction thermique et l'hyperbolicité de l'équation d'onde. Ces trois équations représentent chacune la Type normal de toutes les équations de leur type de base.

La division définie ci-dessus en elliptique, parabolique et hyperbolique peut également être obtenue en considérant la définition de la matrice des coefficients :

Une équation linéaire du second ordre à deux inconnues avec des coefficients réels et constants peut être affectée à exactement un de ces types. Dès que les coefficients ne sont pas constants par rapport à (x, y) < displaystyle (x, y)> ou que l'équation est non linéaire, il existe également des équations qui ne peuvent pas être classées selon ce schéma. Il en va de même pour les cas plus généraux décrits ci-dessous.

L'origine des noms elliptique, parabolique et hyperbolique résulte de la théorie des sections coniques. L'équation conique générale

a une structure similaire à l'équation différentielle partielle linéaire du 2ème ordre donnée ci-dessus. Pour les coefficients a < displaystyle a>, b < displaystyle b>, c < displaystyle c>, les mêmes conditions s'appliquent que ci-dessus, de sorte qu'une ellipse, une parabole ou une hyperbole soit créée à partir des sections coniques correspondantes.

M Modifier les variables

La classification des types basée sur la matrice des coefficients peut également être transférée aux équations d'ordre 2 à plus de deux variables. Dans ce cas, une matrice A (x →) < displaystyle A (< vec >)> avec comme entrées les fonctions coefficients des dérivées partielles du second ordre. En généralisant le cas ci-dessus, ce qui suit s'applique :

Problèmes d'édition et de valeur initiale Modifier

La solution d'une équation aux dérivées partielles n'est généralement pas déterminée de manière unique. Afin d'obtenir une solution sans ambiguïté, certaines conditions supplémentaires sont requises, à savoir des conditions initiales et/ou aux limites. Contrairement à la situation avec les équations différentielles ordinaires, cependant, seule une sélection des conditions initiales et aux limites qui est adaptée au type de base respectif conduit à un problème correctement posé.

Des exemples typiques de problèmes correctement posés sont :

Méthodes d'analyse fonctionnelle Modifier

Alors qu'avec les équations différentielles ordinaires, le problème de l'existence et de l'unicité de la solution est résolu de manière très satisfaisante par le théorème de Picard-Lindelöf, avec les équations aux dérivées partielles, il n'existe pas de théorie générale des solutions aussi étendue. Il est vrai que le théorème de Cauchy-Kovalevskaya garantit que local Existence et unicité de la solution des équations aux dérivées partielles avec des fonctions à coefficients analytiques, mais ce résultat ne peut pas être étendu à des fonctions à coefficients plus générales. Il existe déjà un contre-exemple pour les fonctions de coefficients non analytiques qui peuvent être différenciées aussi souvent qu'on le souhaite, l'exemple de Lewy. [4]

Puisqu'il n'y a pas de théorie satisfaisante et uniforme sur les équations aux dérivées partielles, celles-ci sont divisées en différents types en fonction du comportement de la solution. Celles-ci sont analysées à l'aide de différentes techniques afin d'obtenir des informations sur l'existence, l'unicité et d'autres propriétés des solutions. Les équations aux dérivées partielles linéaires ont également été suffisamment bien étudiées dans le cas des systèmes multidimensionnels, mais cela ne s'applique pas aux équations aux dérivées partielles non linéaires.

Dans l'investigation théorique des solutions des équations aux dérivées partielles, tant qu'on ne cherche que des solutions classiques (c'est-à-dire suffisamment souvent dérivables), on rencontre très vite de grandes difficultés en théorie mathématique. De plus, dans certains cas (par exemple lors de la description des ondes de choc), pour des raisons physiques, l'existence de solutions continues ou différentiables n'est pas à prévoir. Pour ces raisons, le théorie classique dans de nombreux cas, aucune ou aucune affirmation suffisamment bonne sur l'existence et l'unicité n'est possible.

Pour s'en sortir, le concept de "résolution d'une équation différentielle" est affaibli de manière appropriée, i. H. on permet aussi des solutions qui (au sens classique) ne peuvent pas être différenciées. Avec ces termes de solution étendus sont maintenant dans le théorie faible suffisamment de bonnes déclarations théoriques possibles. De plus, ce concept affaibli de solution forme la base de nombreuses méthodes numériques pour la résolution approximative des équations aux dérivées partielles.

Lors de l'examen des équations aux dérivées partielles, différents termes de solution apparaissent : [5] [6] [7]

  • solution classique: La solution est suffisamment souvent continûment dérivable, et l'équation est remplie en insérant ces dérivées en chaque point de la zone sous-jacente.
  • solution forte: La solution est suffisamment souvent dérivable au sens de la dérivée faible, et l'équation est remplie presque partout en insérant les dérivées faibles.
  • solution faible: Ici l'équation est multipliée par des fonctions de test, intégrées puis au moins partiellement intégrées. Une fonction d'un espace de fonctions approprié (généralement un espace de Sobolev) qui satisfait cette nouvelle équation pour toutes les fonctions de test est appelée une solution faible.
  • solution douce: Les solutions fortes satisfont souvent une certaine forme de variation de la formule constante. Une solution à cette formule est appelée une solution douce. Cependant, une solution douce ne doit pas nécessairement être une solution forte. [8] [9]
  • Solution de viscosité: Les solutions de certains types d'équations peuvent être construites en considérant une équation perturbée qui est plus facile à résoudre avec un petit terme diffusif ou visqueux supplémentaire d'ordre supérieur et en considérant le cas limite dans lequel cette perturbation (la viscosité) tend vers zéro. Cela conduit au concept de solution de viscosité. [dix]
  • Solution d'entropie: Pour certaines équations, l'unicité est perdue lors du passage aux solutions faibles, mais elle peut être réduite en ajoutant un Condition d'entropie, restaurer. De telles solutions sont appelées solutions d'entropie. Le nom est motivé par le rôle de l'entropie dans les équations dynamiques des gaz. [11]
  • solution sur mesure: Pour certaines classes d'équations non linéaires, un terme de mesure-solution théorique est utile afin de pouvoir également décrire d'éventuels effets de concentration. [12] [13]
  • solution de distribution: La solution est une distribution et satisfait l'équation en termes de théorie de la distribution. Toutes les dérivations sont "circulées" vers les fonctions de test supposées arbitrairement lisses. Étant donné que les opérations non linéaires ne sont généralement pas définies sur les distributions, ce terme de solution n'est utile que pour les équations linéaires.

Ces termes ne sont pas utilisés de manière uniforme dans la littérature, de sorte qu'une référence doit toujours être faite à la définition respective.

Avec l'aide de Théorie de la régularité et les théorèmes de plongement de Sobolew, on peut souvent montrer dans des conditions convenables pour l'équation différentielle que la solution distributionnelle ou faible obtenue est aussi une solution forte voire classique.

Théorie du mensonge modifier

Une approche générale structurée pour résoudre les équations différentielles est suivie par la symétrie et la théorie des groupes continus.

En 1870, Sophus Lie a mis la théorie des équations différentielles sur une base généralement valable avec la théorie de Lie. Il a montré que les théories mathématiques plus anciennes pour résoudre les équations différentielles peuvent être résumées par l'introduction de groupes de Lie.

Une approche générale de la résolution des équations différentielles tire parti de la propriété de symétrie des équations différentielles. Des transformations infinitésimales continues sont utilisées, qui mappent les solutions aux (autres) solutions de l'équation différentielle. Les méthodes de symétrie sont utilisées pour résoudre exactement les équations différentielles.

La théorie des groupes continus, les algèbres de Lie et la géométrie différentielle sont utilisées pour saisir la structure plus profonde des équations différentielles linéaires et non linéaires (partielles) et pour cartographier les relations. Voir aussi les sujets Paires Lax, Opérateurs Récursifs, Transformations Kontakt et Bäcklund, qui conduisent finalement aux solutions analytiques exactes d'une équation différentielle.


Introduction aux équations différentielles ordinaires linéaires du second ordre - chimie et physique

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Être et . Toutes les solutions ont été déterminées l'équation de la différence

Quelqu'un pourrait-il me donner une approche? D'une manière ou d'une autre, je n'arrive nulle part ou je ne sais pas par où commencer.

ceci est très similaire aux équations différentielles linéaires du second ordre.

Adoptez une approche , trouver les valeurs possibles de et utilisez que l'équation est linéaire.

Je pense qu'il faut distinguer deux cas :

1er cas : .

On a alors le polynôme caractéristique et j'ai maintenant résolu cela, vous obtenez les deux solutions

et

.

Si j'en profite, je monte

et .

ça veut dire qu'il y a deux solutions

et .

Je vois que les solutions qui résolvent l'équation aux différences forment un espace vectoriel (c'est vrai à cause de la superposition), et aussi que les deux solutions trouvées sont linéairement indépendantes. Cet espace vectoriel a-t-il une dimension 2 et si oui, pourquoi ? Si oui, vous auriez trouvé une base et vous auriez su que CHAQUE solution peut être représentée comme une combinaison linéaire des deux solutions linéairement indépendantes trouvées.

Il s'ensuit que le polynôme caractéristique a deux fois la solution 1. Comment procédez-vous ici ?

la dimension de l'espace de solution est de deux car la solution passe par et clairement établi.

Dans le cas de deux, faites des « mathématiques expérimentales ». Tu le sais une solution est Ceci correspond à la solution pour les égaux du 2ème ordre . si double zéro du caractère. Le polynôme est est une deuxième solution.

2014-10-29 19:40 - Wally dans l'article n. 3 écrit :
Salut,

la dimension de l'espace de solution est de deux car la solution passe par et clairement établi.

Je ne comprends pas ça! Pourquoi la solution est-elle clairement déterminée par les deux solutions que j'ai trouvées ?

Edit : Pour le deuxième cas () :

Quand je fais l'approche, je reçois

Soi-disant, cela devrait apparaître comme une solution générale dans ce cas. Et je ne sais pas ce que cela a à voir avec mes deux solutions qui sont maintenant déterminées.

Pour sommes avec et avec Solutions.

La solution générale est avec .

Avez-vous maintenant une solution donné, alors ment à cause de la définition récursive par et fixé. Puisque le noyau d'une équation linéaire est toujours un espace vectoriel, on a évidemment deux degrés de liberté.

Dans le cas vous obtenez (si vous avez calculé correctement) comme solution. donc il devrait y avoir une solution avec donner. Faites le test.

2014-10-29 22:00 - Wally dans l'article n. 5 écrit :
Bonjour, cela est dû à l'orthographe inexacte.

Pour sommes avec et avec Solutions.

La solution générale est avec .

Mais c'est exactement ce que je veux comprendre.
J'ai trouvé les deux solutions que vous avez données.
Maintenant, je me demande pourquoi je connais la solution générale à partir de cela.

Dans le cas vous obtenez (si vous avez calculé correctement) comme solution. donc il devrait y avoir une solution avec donner. Faites le test.

Oui, j'ai la double solution Dehors.
Mais pourquoi devrait-il y avoir une solution alors donner?

Je suis désolé de ne pas voir ça.

Edit : Et en plus, c'est pour alors et pas ?


1) Si vous avez une solution alors c'est fait et déjà complètement déterminé. OK ou pas?

2) Avec la solution pouvez-vous et pour chaque couple Compte calculer pour que ces équations soient satisfaites. OK ou pas?

3) Donc toute solution a la forme avec approprié et . OK ou pas?

Concernant le cas : j'ai essayé de vous donner l'idée que dans le cas de zéros multiples on ajoute des puissances de (ici :) i par analogie à l'équivalent. Vous l'avez (presque) déjà calculé.

Si vous regardez un livre sur les équations aux différences linéaires, vous le trouverez généralement prouvé.


Introduction aux équations différentielles ordinaires linéaires du second ordre - chimie et physique

Son principal domaine scientifique de travail était la théorie arithmétique des fonctions algébriques de deux changeurs.

Le portrait a été réalisé en 1950 ou 1951.

1. Vie et travail

Heinrich Wilhelm Ewald JUNG est né le 4 mai 1876 en tant que fils de Bergrat Wilhelm JUNG à Essen. De 1895 à 1899, il étudie les mathématiques, la physique et la chimie à Marburg et à Berlin. Ses professeurs étaient F. SCHOTTKY, K. HENSEL, L. FUCHS, G. FROBENIUS, H. A. SCHWARZ et M. PLANCK. HENSEL à Berlin et SCHOTTKY à Marburg ont été particulièrement influents dans son développement. Inspiré par ce dernier, il obtient son doctorat en 1899 avec la thèse "Sur la plus petite sphère qui comprend une figure spatiale" et passe la même année l'examen pour le poste d'enseignement supérieur. En 1902, il a terminé son habilitation à Marburg, où il est resté comme professeur privé jusqu'en 1908. Jusqu'à ce qu'il soit nommé professeur titulaire à Kiel en 1913, il était enseignant principal (enseignant) à Hambourg. Une courte période de service militaire a été suivie d'une nomination à l'Université de Dorpat en 1918. En 1920, il succède à A. WANGERIN à l'Université de Halle, où il reste jusqu'à sa retraite en 1948. Après cela, il a donné des conférences jusqu'en 1951.

JUNG a consigné les résultats de ses travaux mathématiques dans 61 publications. Celles-ci traitent principalement de la théorie arithmétique des fonctions algébriques de deux changeurs, des intégrales et des fonctions thêta des corps fonctionnels algébriques d'un changeur et des systèmes de points dans le plan et dans l'espace.

Ce dernier domaine l'occupe dans sa thèse. Er bestimmt dort u.a. eine (n-1)-dimensionale Kugel von möglichst kleinem Durchmesser so, daß sie ein gegebenes Punktsystem im n-dimensionalen Raum einschließt, und berechnet dann den Halbmesser einer möglichst kleinen (n-1)-dimensionalen Kugel, in die man alle Punktsysteme des n-dimensionalen Raumes vom Durchmesser 1 hineinlegen kann. Für den Fall des zwei- und drei-dimensionalen Raumes lassen sich diese Aufgaben geometrisch lösen. JUNG formuliert sie analytisch und führt sie auf algebraische zurück. Es wird eine konstruktive Methode angegeben, nach der man die Aufgaben immer lösen kann (Jungscher Satz).

Unter dem Einfluß von SCHOTTKY und gemeinsam mit ihm führt JUNG die Theorie der allgemeinen Thetafunktionen weiter.

Die große Leistung seines Lebens, die man überall in der Welt mit dem Namen JUNG verband, ist aber die von ihm geschaffene Theorie der algebraischen Funktionen von zwei Veränderlichen. Sie baut sich auf der grundlegenden Arbeit über die Uniformisierung der algebraischen Funktionen von zwei Veränderlichen in der Umgebung einer Stelle x=a, y=b auf (11). In der Arbeit (12) definiert er dann den Begriff des Primteilers durch homomorphe Abbildung des Körpers der algebraischen Funktionen von zwei Veränderlichen auf einen Körper der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen. Dieser in Anlehnung an HENSEL geschaffene Begriff läßt eine strenge Beweisführung von Sätzen über algebraische Flächen (z.B. den Riemann-Rochschen Satz) zu, die schon früher mit anschaulichen Methoden gefunden, aber nur für die einfachsten Fälle bewiesen worden waren. Besondere Bedeutung erlangten seine Untersuchungen über birationale Transformationen (z.B. über die Zusammensetzung von Cremona-Transformationen, i. bes. der ganzen Cremona-Transformationen).

Eine zusammenfassende Darstellung der Anwendung seiner Methoden auf die Theorie der algebraischen Flächen findet sich in seinem 1925 erschienenen Buch (40). In einem zweiten, 1951 publizierten Buch (61) werden die arithmetisch-funktionentheoretischen Arbeiten zusammengefaßt. JUNGs Methoden stellen eine sehr glückliche Synthese zwischen abstrakter Fassung der Begriffe und Sätze, wodurch deren Allgemeingültigkeit gesichert wird, und einer Durcharbeitung zu einer handlichen Form dar, die auf ihre Anwendung im konkreten Fall hinzielt. So sind auch seine Arbeiten und Bücher mit sorgfältig ausgewählten, instruktiven Beispielen durchsetzt, die sich mit seinen Methoden durchrechnen lassen.

Heinrich Wilhelm Ewald JUNG war einer der Menschen, die den Ruf des deutschen Gelehrten zu Ehren gebracht haben. Persönlich bescheiden, trat er hinter seinem Werk zurück. Er war nicht nur ein vorzüglicher Kenner seiner Arbeitsgebiete, sondern er überblickte auch die anderen mathematischen Disziplinen, wie seine Vorlesungen und Seminare bezeugen. Diese zeichneten sich durch größte Klarheit und Übersichtlichkeit aus und wurden von den Studenten gern besucht. In seinem Nachlaß fand sich ein Manuskript mit durchgerechneten Aufgaben zur Mechanik, das von seinem Interesse auch für die angewandte Mathematik Zeugnis ablegt. Seine außerordentliche Geschicklichkeit im Rechnen war bei den Studenten bekannt, und er sorgte auch dafür, daß sie sich im Rechnen übten. Seinen Zuhörern gab er ein lebendiges Beispiel der Liebe zur Mathematik und der Ehrfurcht vor ihren Meistern.


Specialised paper Mathematics



1.Einleitung .2
2.Begriffsdefinition „Differentialgleichungen“ 3
2.1 Unterschiedliche „Lösungen“ einer Differentialgleichung .3
2.2 Kategorien von Differentialgleichungen 4
3. Lösungsverfahren von linearen Differentialgleichungen .5
3.1 Exakte Lösungsverfahren für eine Differentialgleichung 6
3.1.1 Lösen durch direktes Integrieren .6
3.1.2 Lösen durch Seperation (Trennen der Variablen) 6
3.1.3 Numerische Lösungsverfahren für eine Differentialgleichung 1.Ordnung 12
3.1.4 Inhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung lösen (Variation der Konstanten) .12
3.1.5 Einschub .16
4. Praktische Anwendungen aus den Naturwissenschaften 16
4.1 Wachstumsprozesse .16
4.1.1 Unbeschränktes und logistisches Wachstum .16
4.1.2 Beschränktes und logistisches Wachstum .17
5. Schlussteil .19
6. Quellenangaben 20
7- Abbildungsverzeichnis .21

1. Einleitung
In dieser Facharbeit werde ich mich mit dem Thema „Differenzialgleichungen“
beschäftigen.

Dabei werde ich verschiedene Verfahren die zur Lösung der Differentialgleichung führen. Des Weiteren werde ich ihres Nutzen und ihre Anwendungen aus den Naturwissenschaften veranschaulichen.
Eine Differentialgleichung ist „eine unveränderliche Beziehung zwischen der Erscheinung von heute und der von morgen“ (1) ,sie ermöglicht es , die komplexesten Vorgänge , sei es in der Biologie, oder in der Physik ,so konnten Schwingungen (z.B Pendel) mit Hilfe der Differentialgleichung gelöst werden.
Im Verlauf dieser Facharbeit , werde ich zuerst die allgemeine Begriffsdefinition und die verschiedene Arten und Einordnungsmöglichkeiten von Differentialgleichung erläutern anhand unterschiedlichen Beispiele.

Als nächstes werde ich verschiedene Lösungsverfahren von Differentialgleichungen 1.Ordnung aufzeigen und erklären und ich werde auf die Methoden direkte Integration, und Separation stark eingehen .
Zum Schluss werde ich die Differentialgleichung anhand Anwendungen und Beispiele aus dem naturwissenschaftlichen Bereich aufzeigen.
Ziel dieser Facharbeit ist ,dass es verdeutlicht werden soll , was eine Differentialgleichung eigentlich ist und wie sie gelöst werden.

______
(*) Henri Poincar é- ,, Der Wert der Wissenschaft “
2.Begriffsdefinition „Differentialgleichungen“
Definition: Eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion und deren Ableitungen bis zur n-ten Ordnung auftreten, heißt gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung .

Mögliche Formen sind:
Explizite Form: ist nach der höchsten Ableitung aufgelöst

Beispiel:
Implizite Form: auf der einen Seite steht Null.
Beispiel:d.h. die Gleichung ist nach der höchsten Ableitungsordnung auflösbar. Ansonsten heißt sie implizit.

Hängt die gesuchte Fkt. von nur einer Veränderlichen ab (univariate Funktion), so spricht man von einer gewöhnlichen Dgl. (ODE), ansonsten (multivariate Funktion) von einer partiellen Dgl. (PDE).
Einfache Typen der Differentialgleichungen sind bereits aus der Integralrechnung bekannt.

Bei diesen Typen waren beispielsweise zudie Stammfunktion zu bestimmen. Für das obige Beispiel ergibt sich als Lösung:

Eine Differentialgleichung verhält sich ähnlich zu „normalen Gleichungen“ , allerdings ist bei Differentialgleichung nicht nach Zahlen ,sondern nach eine Funktion .
2.1 Unterschiedliche „Lösungen“ einer Differentialgleichung
Eine Funktionheißt Lösung der Differentialgleichung, wenn sie mit ihren Ableitung die Differentialgleichung identisch erfüllt.
Wir unterscheiden zwischen drei verschiedenen Arten einer Lösung:
1. Die allgemeine Lösung enthält n voneinander unabhängige Parameter oder Integrationskonstanten.
2. Die spezielle oder partikuläre Lösung erhält man aus einer allgemeinen Lösung, indem man den n Parametern aufgrund von Anfangsbedingungen feste Werte zuweist.
3. Die singuläre Lösung ist eine Lösung der Differentialgleichung, die sich nicht aus der allgemeinen Lösung gewinnen lässt.
2.2 Kategorien von Differentialgleichungen
• Ordnung:
. [read full text]


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